Presentación de libro: Tips para tener buen promedio en educaión superior.

Tener buen promedio en la Universidad adhiere múltiples beneficios al estudiante; por mencionar algunos se encuentran:

•  Obtención de las mejores becas que ofrece tu universidad. (Recuerdo que cuando iba en los últimos semestres, obtuve la beca del conocimiento "José Yurrieta Valdés". Era en una palabra, la mejor beca que tenía la universidad. Fue tan gratificante, que sentía que la universidad me estaba pagando un sueldo mensual por estudiar.)
• En algunas universidades es necesario tener un buen promedio para condonar hasta el 80% del monto de la colegiatura, permitiendo al alumno seguir con sus estudios en universidades que son muy costosas.
• Brinda la posibilidad al estudiante de estudiar un posgrado en un futuro, no solo eso, sino que dependiendo de su rendimiento académico, podría realizarlo en alguna de las mejores universidades del mundo.
• Algunas empresas piden un promedio mínimo para poder laborar dentro de la empresa.
• Entre muchos otros más beneficios...

En este libro, expongo una serie de tácticas, vivencias, experiencias, consejos, hábitos, etc. enfocados a mejorar el rendimiento académico del alumno con el único fin de que éste obtenga un buen promedio en sus estudios universitarios y pueda estar en posibilidad de elegir los beneficios que un alumno con buen promedio puede obtener. (Depende mucho de la carrera universitaria que se esté tomando, pero por lo general un buen promedio en escala de 000.00 a 100.00, se considera a partir del 080.00 en adelante.)

Este libro es una joya que podría cambiar tu vida de una forma inimaginable, pues los beneficios no se quedan a la época de estudiante; se extienden y se manifiestan a través del tiempo. 

Comprar este libro conlleva una inversión en donde se pueden obtener frutos en un corto plazo (época de estudiante) y extender esos beneficios a lo largo su vida a través de las oportunidades que usted haya decidido aprovechar tomando ventaja de su promedio o rendimiento académico.

A toda mi audiencia, les digo, con la mejor de todas las intenciones les recomiendo encarecidamente la lectura de este libro, el cual les ayudará a mejorar sus promedios escolares, serán mejores alumnos y si hacen bien las cosas, también podrán tomar las oportunidades que se les presentan a los alumnos de excelencia académica.

Ustedes son los únicos dueños y arquitectos de sus propios destinos, ustedes deciden que oportunidades toman y cuáles no. 

Mis mejores deseos.

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Ecuación paramétrica de una recta en el espacio.

 Sea una recta L en el espacio definida por los puntos P1 y P, donde solo es conocido P1; así mismo, se conoce el vector V que se sabe es paralelo a la recta L; entonces es posible determinar la ecuación paramétrica de la recta L en el espacio, como se desarrolla a continuación:

Imagen 1: Gráfica de la recta L en el espacio.

Es posible generar un vector paralelo a V a partir de los puntos P1 y P, dicho vector sería: 

Sea:

P=(x,y,z) 

P1=(x1,y1,z1)

V=(a,b,c)

El vector P1P será paralelo a V. Es posible establecer una igualdad siempre que exista una constante de proporcionalidad que sea capaz de igualar en tamaño a ambos vectores. Sea dicha constante de proporcionalidad "t" que pertenece a los números reales. Se tiene:

P1P=tV

Ahora bien, podemos sumar en ambos lados de la igualdad P1. Así:

P1P+P1=P1+tV, lo cual resulta en:

P=P1+tv, que es la ecuación paramétrica de la recta L, donde P es un punto perteneciente a la recta L, P1 es un punto definido de la recta que pertenece a L, "t" es el parámetro que permite que el vector P1P sea igual al vector V y V es un vector paralelo a la recta L.

Bibliografía.

Fuller, Gordon. (2001). Geometría Analítica. México.  CECSA, 5th edición. Pp. 310.

Ensayo: El mejor método para sumar fuerzas en un sistema tridimensional.

 Esta entrada contiene un ensayo en español, en donde se evalúan tres métodos para sumar fuerzas (el método trigonométrico, el método de suma de fuerzas por componentes rectangulares y el de suma de fuerzas por medio de vectores unitarios). Cada método es evaluado en base a parámetros especificados en el abstrac que determinan la eficiencia y efectividad de cada método. En el escrito se realiza un mismo ejercicio de sistema de fuerzas coplanares por cada metodología comparando al final los resultados obtenidos en cada método y en base a los parámetros de eficiencia se determina el mejor método para sumar fuerzas en un sistema tridimensional.

Para acceder al ensayo, favor de dar clic en el siguiente enlace en azul. (Es totalmente gratuito).

Ensayo

ESSAY: BEST METHOD FOR SUMMING FORCES IN A THREE-DIMENSIONAL SYSTEM.

 The following entry presents an essay that compares three methods for adding forces in three dimensions and determines, based on three criteria established in the abstract, the best method for performing this addition in three-dimensional space.

 To access the document, please click on the following link:

ESSAY 

 

Serie de Taylor.

La serie de Taylor sirve para encontrar o aproximar el valor de una función del tipo:

(1) Función con imagen o valor dispuesto en serie de potencias.

    Observe que es el desarrollo de una sumatoria cuyo límite inferior comienza en cero y su límite superior es infinito. Quiere decir que será imposible encontrar el valor exacto de esa función. Es por eso que partimos necesariamente al concepto de la serie de Taylor para poder encontrar una aproximación del valor de esa función por medio del concepto de polinomio de Taylor.

     Empezaremos por desarrollar el concepto de la serie de Taylor y después explicaremos por qué es necesario emplear el concepto de polinomio de Taylor para poder encontrar una aproximación de la función expuesta en la imagen anterior.

  Desarrollando la expresión que tenemos en la imagen 1, tendremos:

Expresión 1: Serie de potencias desarrollada.

Recordemos que la serie de potencias no se detiene porque su límite superior es infinito, por ello, en la expresión 1, cortamos la serie con los puntos suspensivos, indicando que la serie sigue sin tener fin.

Lo que seguirá a continuación, será que empezaremos a derivar la expresión con cada uno de los valores de la sumatoria, empezando desde n=1 (porque al tener f'(x), la constante a0 de f(x) será cero, por esa razón ahora la sumatoria comenzará en n=1)

Para la primer derivada de f(x):

(2) : Primera derivada de f(x).

Desarrollando f'(x) se tiene:

(3) : Desarrollo de (2).

Ahora bien, si volvemos a derivar (3), a1=0; la serie comenzará desde el término n=2. Así:

(4): Segunda derivada de f(x).

Es preciso aclarar que se pueden realizar "n" derivadas de f(x), en este texto realizaremos hasta la cuarta derivada:

(5): Tercera derivada de f(x).

(6): Cuarta derivada de f(x).

Ahora bien, si hacemos x=c, podremos encontrar el valor de los coeficientes "a", así:

Aquí se puede descubrir que el coeficiente "a" estará multiplicado por "n!", así, si tenemos la quinta derivada, el coeficiente "a5" estará multiplicado por 5!. Visualizando este patrón, es posible determinar la siguiente expresión para cualquier valor de "n":

Expresión 2: Derivada "n" de serie de Taylor valuada en "c".

Y es con esta expresión que nos será posible determinar el valor de "an", así:

Expresión 3: valor de cada coeficiente de la serie de Taylor.

Con la expresión 2, podemos saber los primero 5 coeficientes de la serie de Taylor y en general los "n" coeficientes de la serie. Para presentar la serie de Taylor con sus primeros cuatro coeficientes, se expone la siguiente expresión:

Expresión 4: serie de Taylor.

 

 

Es importante recalcar que la serie no tiene fin y podemos descubrir "n" términos de la serie como nosotros queramos.

Observe que hemos llegado a la expresión 4 por medio de sustituir cada valor "an" sobre la expresión 1, dando como resultado la expresión 4.

Ahora bien, vamos a explicar por qué es necesario aplicar el polinomio de Taylor para poder conocer un valor aproximado de (1) y la explicación es que el polinomio de Taylor concentra un número finito de términos de la serie de Taylor, generando un valor tangible y aproximado de (1). En base a lo dicho en este párrafo se escribirá la expresión que describe el polinomio de Taylor.

Expresión 5: polinomio de Taylor.

Observe que a diferencia de la serie de Taylor, el polinomio de Taylor tiene términos finitos, mientras que la serie de Taylor deja mostrar su infinitud en términos.

Supongamos que tenemos una función del tipo descrita en (1) o en la expresión 1, no será posible saber el valor exacto de la función, pero por medio del polinomio de Taylor será posible descubrir un valor aproximado de (1); así por ejemplo, tal vez usted, desee tomar los primeros 5 términos del polinomio de Taylor para arrojar un valor de la función expresada en (1), y entre más términos del polinomio de Taylor se consideren se irá aumentando la precisión del valor de la función en (1).

La serie de Taylor y el polinomio de Taylor pueden aplicarse a toda función exponencial, la cuestión es que no es posible saber el valor exacto de toda función exponencial y por medio del Polinomio de Taylor es posible encontrar un valor aproximado de la función cuando es valuada alrededor de un número real. Cuando es posible saber el valor exacto de la función exponencial, no tiene caso o sentido aplicar esta teoría, pues sería posible conocer su valor con una calculadora científica. Sin embargo, el lector podría realizar la comparativa valuando sobre la serie de Taylor y comparando con los valores del polinomio de Taylor con "n" términos para descubrir el número de términos que serán necesarios tomar en el polinomio de Taylor para generar valores iguales en la cantidad de las cifras decimales que se deseen tomar.

Bibliografía.

1) Arcos Quezada, Ismael. (2011). Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Editorial Kali-Xotl.

2) W. Swokowski, Earl. (1989). Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica.

La regla de la cadena (Notación de Leibniz).

Cuando encontramos la regla de la cadena en un libro de cálculo, hacemos principalmente referencia a la derivada de una función compuesta por otra función que a su vez (esa otra función) estará compuesta por otra función que contendrá la variable independiente. Entonces; si quisiéramos saber la derivada de la primera función compuesta, respecto a la variable independiente, tendríamos que utilizar la siguiente expresión llamada regla de la cadena. No es complicado intuir el origen del nombre de la expresión, pues es posible explicarla partiendo de la observación de la estructura de una cadena de metal. 

Sea: w=f(u), y u=g(x), entonces:

 

Expresión 1: Regla de la cadena.

Observe la siguiente imagen:

 

La regla de la cadena adquiere sentido cuando usted observa la imagen de arriba. Aplicado al cálculo de una variable, piense que la primera argolla (1)  representa una variable, la segunda una segunda variable que depende de la anterior y la tercer argolla representará una tercera variable que depende de la anterior. Como se observa en la estructura de la cadena, siempre habrá una argolla que no dependa de ninguna (será la primera) y habrá una última que dependerá de la anterior, que a su vez dependerá de la anterior, y así, hasta llegar a la primer argolla. En relación con la expresión 1, piense que derivaremos la tercer argolla respecto a la primer argolla. (2). 

La expresión 1, se encuentra anotada con la notación de Leibniz, sin embargo; también podríamos encontrarla en otras notaciones como la de "Límites". En este texto, daremos una sencilla forma de llegar a la expresión 1 usando notación de Leibniz:

1) Parta de dw/dx:

 

2) Multiplique por du/du en ambos lados de la igualdad:

 

 

 

3) Realice las siguientes consideraciones (4):

 

4) Llegando a la expresión 1:

Haciendo du/du=1 del lado izquierdo de la igualdad y del lado derecho solo reordenamos du/du, obtenemos la expresión 1.

 

Expresión 1: Regla de la cadena.

 Notas:

(1) Da lo mismo si usted comienza a observar la cadena de abajo hacia arriba que de arriba hacia abajo, solo siga el hilo del enunciado que aquí se expone.  

(2)  Para simplificar la compresión se ha optado por realizar esta afirmación que se encuentra subrayada. Empero; podríamos aplicar la regla de la cadena en múltiples situaciones, por ejemplo, si tenemos una cadena compuesta de 10 argollas, podríamos desarrollar la derivada de la última argolla respecto a la antepenúltima argolla. No necesariamente siempre será la derivada de la última argolla respecto a la primer argolla. 

(4) Aquí solo estaremos reordenando du/du del otro lado de la igualdad.

Bibliografía:

 Arcos Quezada, Ismael.(2011). Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Kali-Xotl, 3a Edición. Toluca, México. pág. 66. 

Ecuaciones simétricas de una recta.

Dada una recta L en el espacio definida por dos puntos de los cuales uno de ellos es conocido; además se conoce que es paralela a un vector V que se ubica en el espacio, como se muestra en la siguiente figura:

Imagen 1: Recta en el espacio paralela a V.

Entonces es posible conocer las ecuaciones simétricas de la recta las cuales parten y se desarrollan a partir del siguiente raciocinio:

Si L//V entonces en L existirán dos puntos cualesquiera sobre la recta tales que PP1//V, es decir que se pueda formar sobre la recta un vector paralelo a V. Además si multiplicamos a cualquiera de los dos vectores por un parámetro "t" es posible establecer una igualdad entre los dos vectores; así se tendría: PP1=tV, este parámetro "t" permitirá aumentar o reducir el tamaño de V, para que sea igual en tamaño, dirección y sentido que el vector formado sobre la recta L. A continuación se muestra con números lo dicho:

 Sea P1=(x1,y1,z1) ^ P=(x,y,z), donde P1 ^ P son dos puntos sobre L y donde P1 es un punto conocido y P uno desconocido pero que se sabe que está sobre la recta. Además, el vector V=(a,b,c); donde {a,b,c} pertenecen a los reales. Si formamos un vector paralelo a V sobre la recta con misma dirección y sentido se tendría:

PP1= (x-x1,y-y1,z-z1)

Ahora  bien, si igualamos el vector PP1 con V por medio del parámetro t, se tendría:

PP1=tV

(x-x1,y-y1,z-z1)=t(a,b,c); con t perteneciente a los reales.

 (x-x1,y-y1,z-z1)=(ta,tb,tc)

 Ahora bien, t será el parámetro tal que permitirá enunciar la siguiente igualdad:

x-x1=ta   ---1

y-y1=tb   ---2

z-z1=tc   ---3

 Si de las tres ecuaciones despejamos a t, se tendrá:

Dado que en los tres casos el parámetro "t" es el mismo, es posible igualar estas tres ecuaciones, formando así las ecuaciones simétricas de una recta en el espacio.

Imagen 2: ecuaciones simétricas de una recta en el espacio.

 

Bibliografía.

Fuller, Gordon. (2001). Geometría Analítica. México.  CECSA, 5th edición. Pp. 309-310.