¿Cómo determinar el rango del ángulo de una gráfica en coordenadas polares?

El ángulo vectorial (1) de una ecuación polar nos ayuda a localizar un punto sobre la gráfica de una ecuación polar; si descubrimos ese rango angular, nos será posible determinar la forma geométrica que tiene una determinada ecuación polar. Saber esta característica es especialmente útil para determinar los intervalos de integración cuando se desea calcular el área encerrada en una curva.

A continuación, se muestra una ecuación polar y el procedimiento para calcular ese rango angular para el propósito que usted requiera y necesite:

Sea la ecuación polar:

Determinaremos por medio de una tabulación el rango de teta posible para que nos arroje un valor real en r. 

La tabla se construye partiendo del grado 0 (ya sea que se calcule en radianes o grados), con valores negativos cada vez menores y valores positivos cada vez mayores. En lo particular recomiendo ir escalando cada valor alrededor de los 45° o  Pi/4. Si llegamos a rápidamente a un valor donde debido a la naturaleza de la ecuación polar, no es posible determinar, podríamos tomar valores más pequeños en nuestra tabla de tabulación para tener más puntos y así poder realizar la gráfica.

A continuación se muestra el procedimiento a seguir:

Tabulación para graficar ecuación polar.

En la tabulación anterior se muestran los valores de teta en radianes. Se descubrió que en valores mayores a Pi/4 y menores a -pi/4 (valores mayores a 45° y menores a -45°). La ecuación polar empieza a arrojar un error, por lo que no es posible determinar valores reales con valores de teta fuera de ese rango.

El rango de teta vendría siendo el siguiente:

La ecuación anterior, describe una hoja de la gráfica polar llamada Lemniscata. Y corresponde a la siguiente forma:

Gráfica de una hoja de lemniscata.

Notas:

(1) Entiéndase por ángulo vectorial de una ecuación polar, por el grado de abertura comprendido entre dos rayos. (Consulte: Definición de ángulo, radian y grado )

Referencias.

1) Arcos Quezada, José I. (2022). Cálculo para estudiantes de ingeniería 2. Editorial Kali. (Pág. 81-85)

2) Fuller, Gordon. (2001). Geometría Analítica. CECSA. (Pág. 193-204)

3) Jiménez Colín, Alfredo. (2019).  Definición de ángulo, radian y grado. Mundo matemático. 

Solución de integral coseno cuadrado de teta.

 En esta entrada se procederá a mostrar el procedimiento que dará solución a la integral del coseno cuadrado de teta.

Para resolver esta integral es necesario tomar en cuenta la siguiente identidad trigonométrica:

De la identidad, despejamos a cos²θ:

Ahora sustituimos de la identidad trigonométrica, el despeje de cos²θ en la integral a resolver:

Cuando nos encontramos en esta fase es necesario aplicar la siguiente fórmula de integración:

Nos enfocamos en la siguiente integral:

Ahora sustituimos la información en:

Sustituyendo 2 en 1 se tiene:

Sumando de ambos lados de la igualdad ∫〖cos^2 θdθ〗, obteniéndose:

El ejercicio ha concluido.

Formulario de Electricidad.

El día de hoy les paso a dejar mi formulario de Electricidad 💡, empleado en la materia de Física General. Saludos.

Tabla de densidades.

 Excelente día 🌞 a toda mi audiencia, aquí les dejo una tabla con las densidades de los materiales más empleados en nuestra vida cotidiana. Tengan todos ustedes una excelente semana.

Tabla de densidades.

Donativos.

Formulario de Física General.

 Excelente día tengan todos ustedes 🌞 Aquí les dejo dos formularios de Física General para nivel medio superior. Espero les sea de utilidad. Saludos cordiales.

Formulario de Física General Tipo 1

Formulario de Física General Tipo II

DONATIVOS.

Presentación de libro: Tips para tener buen promedio en educaión superior.

Tener buen promedio en la Universidad adhiere múltiples beneficios al estudiante; por mencionar algunos se encuentran:

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• En algunas universidades es necesario tener un buen promedio para condonar hasta el 80% del monto de la colegiatura, permitiendo al alumno seguir con sus estudios en universidades que son muy costosas.
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Ecuación paramétrica de una recta en el espacio.

 Sea una recta L en el espacio definida por los puntos P1 y P, donde solo es conocido P1; así mismo, se conoce el vector V que se sabe es paralelo a la recta L; entonces es posible determinar la ecuación paramétrica de la recta L en el espacio, como se desarrolla a continuación:

Imagen 1: Gráfica de la recta L en el espacio.

Es posible generar un vector paralelo a V a partir de los puntos P1 y P, dicho vector sería: 

Sea:

P=(x,y,z) 

P1=(x1,y1,z1)

V=(a,b,c)

El vector P1P será paralelo a V. Es posible establecer una igualdad siempre que exista una constante de proporcionalidad que sea capaz de igualar en tamaño a ambos vectores. Sea dicha constante de proporcionalidad "t" que pertenece a los números reales. Se tiene:

P1P=tV

Ahora bien, podemos sumar en ambos lados de la igualdad P1. Así:

P1P+P1=P1+tV, lo cual resulta en:

P=P1+tv, que es la ecuación paramétrica de la recta L, donde P es un punto perteneciente a la recta L, P1 es un punto definido de la recta que pertenece a L, "t" es el parámetro que permite que el vector P1P sea igual al vector V y V es un vector paralelo a la recta L.

Bibliografía.

Fuller, Gordon. (2001). Geometría Analítica. México.  CECSA, 5th edición. Pp. 310.