Función real de varias variables independientes.

 Una función real con varias variables independientes, será aquella función que tiene más de dos variables, de las cuales una sola variable depende de los valores reales que adopten las variables independientes; puede tener "n" variables independientes, pero solamente una variable dependiente.

Al ser una función de más de dos variables su gráfica habitará en Rn con n>2 (*) y tendrá una regla de correspondencia de la siguiente forma:

Regla de correspondencia de función real con varias variables independientes.

En donde: 

Es el dominio de W.

 Y "n" será el número de variables independientes de la función. Éstas variables, podrán adoptar cualquier valor real, modificando el valor de la variable dependiente W. 

Debido a que se trata de una función, para cada valor de sus variables independientes, existirá un único valor de W (o de la variable dependiente) que no volverá a repetirse ante la variación de cualquier variable independiente. 

Para que se comprenda mejor esta situación, tome en cuenta la siguiente regla de correspondencia:

Regla de correspondencia de una función en R3.

 

En esta regla de correspondencia, las variables independientes son "x" y "y"; y la dependiente es "z" que está expresada en términos de "x" y "y". Si es una función en R3, para cada valor real que adopte "x" y "y", existirá un único valor de "z" que no volverá a repetirse ante la variación de los valores de "x" y "y".

En R2, podía trazarse una línea vertical paralela al eje "y" de tal forma que se origine una intersección entre la curva y la línea paralela al eje "y". Si la curva era una función, entonces dicha recta vertical solamente tendría un punto de intersección. Si la curva tiene más de un solo punto de intersección; entonces no es una función.

Lo mismo pasará en R3. Si trazamos sobre la superficie una línea vertical paralela al eje "z" de tal forma que se intercepte con la gráfica de la función, tendremos como resultado un solo punto de intersección. Si llegase a existir más de un solo punto de intersección, entonces podremos estar seguros que dicha gráfica no es una función en R3.

A continuación se muestra una gráfica de una función de tres variables.

Gráfica de una función de tres variables en R3.

La gráfica mostrada anteriormente tiene la ecuación: z=sen(xy) y las cuatro imágenes muestran la gráfica de la misma ecuación con distinta rotación e inclinación para que el lector pueda apreciar de mejor forma la gráfica. En teoría, si trazamos una línea vertical, paralela al eje "z" en cualquier punto de la gráfica, solamente se tocará un solo punto de intersección entre la línea y la gráfica.

Notas:

(*) Sin embargo, como no es posible graficar más de 3 ejes perpendiculares entre sí, podremos visualizar únicamente gráficas de funciones reales con hasta dos variables independientes y una dependiente.

Bibliografía:

Arcos Quezada, José Ismael. Cálculo para estudiantes de ingeniería 2. Editorial Kali. Toluca, México. (2022). Pág: 3-9.