Breve historia de los números complejos.

¿Quién fue el primer matemático en encontrar la raíz cuadrada de un número real negativo?

Herón de Alejandría fue la primer persona en encontrar la raíz cuadrada de un número real negativo. (Año 50 D.C.)

¿Quién y por qué se les nombró imaginarios a la raíz cuadrada de un número real negativo?

Quien bautizó a los números imaginarios y reales, fue el destacado matemático Descartes, (1) los primeros fueron llamados así, porque no se le vio aplicación en la vida real, pensaron por tanto que no existían y que "sólo" se encontraban en la imaginación del ser humano (2), en contraposición con los números reales quienes también fueron nombrados así por Descartes por la razón de que éstos se podían vislumbrar en el mundo real que nos rodea y por ende, éstos sí existían y eran reales. Por otro lado, Isaac Asimov nos dice: "La raíz cuadrada de menos uno. No tiene existencia. Los matemáticos lo llaman imaginario. Pero de alguna manera mística creen que tienen una clase de existencia" (De los números y su historia). Euler por sus parte nos dice: "Puesto que todos los números concebibles son mayores a cero, menores que cero, o iguales que cero, está claro que las raíces cuadradas de números negativos no pueden ser incluidas dentro los números posibles (reales). En consecuencia debemos decir que son números imposibles. Y esta circunstancia nos lleva al concepto de tales números, que por su naturaleza son imposibles, y ordinariamente se les llama imaginarios o ideales, porque existen sólo en la imaginación"(Introducción completa al Álgebra). Ahora bien, en la actualidad podemos estar seguros que estos números "imaginarios" sí tienen una aplicación en la realidad que nos rodea y se pueden aplicar en el área de las matemáticas, electricidad y magnetismo, electrónica, etc. (3) Por lo que los matemáticos tenían razón en creer que tenían "una clase de existencia".

En 1777, el matemático Euler designa la letra "i" para representar la raíz cuadrada de un número real negativo. (4)

Tal vez se debería reconsiderar el nombramiento de los números imaginarios y nombrarlos por otro nombre que los describa mejor ya que quien los nombró debido a la carencia de conocimiento en la época no les vio representación o utilidad en la vida real y de allí deriva el nombre "imaginario".

¿Quién nombró a la suma o sustracción de un número real e imaginario como número complejo?

En 1831, el matemático Gauss, introduce el término "número complejo" (1), para designar la suma o sustracción de un número real y un número imaginario.

Fue el mismo Gauss, quien tuvo la genial idea de representar los números complejos en un plano cartesiano compuesto por dos rectas perpendiculares entre sí (5), la recta horizontal representando a los números reales y la recta vertical representando a los números imaginarios. De esa forma es posible ubicar un número complejo en un plano cartesiano y representar las soluciones de ecuaciones que tienen soluciones de números complejos y reales en un mismo plano cartesiano.

Fuentes:
(1) Historia del Teorema Fundamental del Álgebra
(2) Rodrigo Andrés Torres.
(3) Álgebra 1, Libro de texto, Universidad Autónoma del Estado de México, 1999.
(4) An Imaginary tale The story of √-1, Paul J. Nahim.
(5) De lo real a lo imaginario.

¿Todo número complejo de la forma a+0i con a perteneciente a los números reales, es un número real?

De acuerdo a lo que hemos establecido anteriormente por número complejo (ver: Definición de número complejo y Distintas formas de representar un número complejo ).

Podemos decir que un número complejo es la suma o sustracción de un número real y un número imaginario. Existen varias formas de representar este enunciado; una de ellas es la siguiente:

z=a+bi, donde a y b pertenecen a los números reales.

En esa forma de representar los números complejos, z representa el número complejo.

Ahora bien, si a y b pertenecen a los números reales, esto quiere decir que el número cero está incluido dentro de los números complejos ya que el número cero pertenece al conjunto numérico de los números reales. 

Por lo que se puede decir que todo número complejo de la forma a+0i, donde a pertenece a los números reales, es un número real.

Este número también se puede encontrar como:

* z=(a,0) con a perteneciente al conjunto de los números reales.

*|Z|cis(0°)=|Z|(cos(0°)+sen(0°)i), donde |Z| es el módulo del número complejo.

*|Z|cis(180°)=|Z|(cos(180°)+sen(180°)i), donde |Z| es el módulo del número complejo.

Sin embargo, escribir un número real de esta forma, carece de sentido, por las siguientes razones:

1-Se desperdicia tiempo.

2-Se gasta más tinta.

3-No es necesario.

Por lo que se puede decir que todo número real que es complejo a la vez, es usado siempre y cuando se encuentre trabajando en el conjunto numérico de los complejos y el número real y complejo que se está tratando está involucrado con el plano cartesiano de los números complejos en análisis de otros números complejos que no son números reales, de otra forma no tiene sentido representar un número real de la forma compleja.

Tal vez, sea necesario definir "número real puro" como un número real donde la parte imaginaria no existe.

Conclusiones:

1-Todo número real puede ser representado como un número complejo.

2-Todo número imaginario puede ser representado como un número complejo donde la parte real vale cero.

3-Cuando nos referimos exclusivamente a números reales, no es necesario escribirlos bajo una forma de números complejos.

Fuentes:

-matemáticas preuniversitarias I, NÚMEROS COMPLEJOS, Francesca Pensieri, editorial Reverté venezolana, S.A. 

-Álgebra 1, Libro de texto, Universidad Autónoma del Estado de México, 1999.

-ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA, TERCERA EDICIÓN, SWOKOWSKI COLE, GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA.