Serie de Taylor.

La serie de Taylor sirve para encontrar o aproximar el valor de una función del tipo:

(1) Función con imagen o valor dispuesto en serie de potencias.

    Observe que es el desarrollo de una sumatoria cuyo límite inferior comienza en cero y su límite superior es infinito. Quiere decir que será imposible encontrar el valor exacto de esa función. Es por eso que partimos necesariamente al concepto de la serie de Taylor para poder encontrar una aproximación del valor de esa función por medio del concepto de polinomio de Taylor.

     Empezaremos por desarrollar el concepto de la serie de Taylor y después explicaremos por qué es necesario emplear el concepto de polinomio de Taylor para poder encontrar una aproximación de la función expuesta en la imagen anterior.

  Desarrollando la expresión que tenemos en la imagen 1, tendremos:

Expresión 1: Serie de potencias desarrollada.

Recordemos que la serie de potencias no se detiene porque su límite superior es infinito, por ello, en la expresión 1, cortamos la serie con los puntos suspensivos, indicando que la serie sigue sin tener fin.

Lo que seguirá a continuación, será que empezaremos a derivar la expresión con cada uno de los valores de la sumatoria, empezando desde n=1 (porque al tener f'(x), la constante a0 de f(x) será cero, por esa razón ahora la sumatoria comenzará en n=1)

Para la primer derivada de f(x):

(2) : Primera derivada de f(x).

Desarrollando f'(x) se tiene:

(3) : Desarrollo de (2).

Ahora bien, si volvemos a derivar (3), a1=0; la serie comenzará desde el término n=2. Así:

(4): Segunda derivada de f(x).

Es preciso aclarar que se pueden realizar "n" derivadas de f(x), en este texto realizaremos hasta la cuarta derivada:

(5): Tercera derivada de f(x).

(6): Cuarta derivada de f(x).

Ahora bien, si hacemos x=c, podremos encontrar el valor de los coeficientes "a", así:

Aquí se puede descubrir que el coeficiente "a" estará multiplicado por "n!", así, si tenemos la quinta derivada, el coeficiente "a5" estará multiplicado por 5!. Visualizando este patrón, es posible determinar la siguiente expresión para cualquier valor de "n":

Expresión 2: Derivada "n" de serie de Taylor valuada en "c".

Y es con esta expresión que nos será posible determinar el valor de "an", así:

Expresión 3: valor de cada coeficiente de la serie de Taylor.

Con la expresión 2, podemos saber los primero 5 coeficientes de la serie de Taylor y en general los "n" coeficientes de la serie. Para presentar la serie de Taylor con sus primeros cuatro coeficientes, se expone la siguiente expresión:

Expresión 4: serie de Taylor.

 

 

Es importante recalcar que la serie no tiene fin y podemos descubrir "n" términos de la serie como nosotros queramos.

Observe que hemos llegado a la expresión 4 por medio de sustituir cada valor "an" sobre la expresión 1, dando como resultado la expresión 4.

Ahora bien, vamos a explicar por qué es necesario aplicar el polinomio de Taylor para poder conocer un valor aproximado de (1) y la explicación es que el polinomio de Taylor concentra un número finito de términos de la serie de Taylor, generando un valor tangible y aproximado de (1). En base a lo dicho en este párrafo se escribirá la expresión que describe el polinomio de Taylor.

Expresión 5: polinomio de Taylor.

Observe que a diferencia de la serie de Taylor, el polinomio de Taylor tiene términos finitos, mientras que la serie de Taylor deja mostrar su infinitud en términos.

Supongamos que tenemos una función del tipo descrita en (1) o en la expresión 1, no será posible saber el valor exacto de la función, pero por medio del polinomio de Taylor será posible descubrir un valor aproximado de (1); así por ejemplo, tal vez usted, desee tomar los primeros 5 términos del polinomio de Taylor para arrojar un valor de la función expresada en (1), y entre más términos del polinomio de Taylor se consideren se irá aumentando la precisión del valor de la función en (1).

La serie de Taylor y el polinomio de Taylor pueden aplicarse a toda función exponencial, la cuestión es que no es posible saber el valor exacto de toda función exponencial y por medio del Polinomio de Taylor es posible encontrar un valor aproximado de la función cuando es valuada alrededor de un número real. Cuando es posible saber el valor exacto de la función exponencial, no tiene caso o sentido aplicar esta teoría, pues sería posible conocer su valor con una calculadora científica. Sin embargo, el lector podría realizar la comparativa valuando sobre la serie de Taylor y comparando con los valores del polinomio de Taylor con "n" términos para descubrir el número de términos que serán necesarios tomar en el polinomio de Taylor para generar valores iguales en la cantidad de las cifras decimales que se deseen tomar.

Bibliografía.

1) Arcos Quezada, Ismael. (2011). Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Editorial Kali-Xotl.

2) W. Swokowski, Earl. (1989). Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica.

La regla de la cadena (Notación de Leibniz).

Cuando encontramos la regla de la cadena en un libro de cálculo, hacemos principalmente referencia a la derivada de una función compuesta por otra función que a su vez (esa otra función) estará compuesta por otra función que contendrá la variable independiente. Entonces; si quisiéramos saber la derivada de la primera función compuesta, respecto a la variable independiente, tendríamos que utilizar la siguiente expresión llamada regla de la cadena. No es complicado intuir el origen del nombre de la expresión, pues es posible explicarla partiendo de la observación de la estructura de una cadena de metal. 

Sea: w=f(u), y u=g(x), entonces:

 

Expresión 1: Regla de la cadena.

Observe la siguiente imagen:

 

La regla de la cadena adquiere sentido cuando usted observa la imagen de arriba. Aplicado al cálculo de una variable, piense que la primera argolla (1)  representa una variable, la segunda una segunda variable que depende de la anterior y la tercer argolla representará una tercera variable que depende de la anterior. Como se observa en la estructura de la cadena, siempre habrá una argolla que no dependa de ninguna (será la primera) y habrá una última que dependerá de la anterior, que a su vez dependerá de la anterior, y así, hasta llegar a la primer argolla. En relación con la expresión 1, piense que derivaremos la tercer argolla respecto a la primer argolla. (2). 

La expresión 1, se encuentra anotada con la notación de Leibniz, sin embargo; también podríamos encontrarla en otras notaciones como la de "Límites". En este texto, daremos una sencilla forma de llegar a la expresión 1 usando notación de Leibniz:

1) Parta de dw/dx:

 

2) Multiplique por du/du en ambos lados de la igualdad:

 

 

 

3) Realice las siguientes consideraciones (4):

 

4) Llegando a la expresión 1:

Haciendo du/du=1 del lado izquierdo de la igualdad y del lado derecho solo reordenamos du/du, obtenemos la expresión 1.

 

Expresión 1: Regla de la cadena.

 Notas:

(1) Da lo mismo si usted comienza a observar la cadena de abajo hacia arriba que de arriba hacia abajo, solo siga el hilo del enunciado que aquí se expone.  

(2)  Para simplificar la compresión se ha optado por realizar esta afirmación que se encuentra subrayada. Empero; podríamos aplicar la regla de la cadena en múltiples situaciones, por ejemplo, si tenemos una cadena compuesta de 10 argollas, podríamos desarrollar la derivada de la última argolla respecto a la antepenúltima argolla. No necesariamente siempre será la derivada de la última argolla respecto a la primer argolla. 

(4) Aquí solo estaremos reordenando du/du del otro lado de la igualdad.

Bibliografía:

 Arcos Quezada, Ismael.(2011). Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Kali-Xotl, 3a Edición. Toluca, México. pág. 66. 

Concavidad de una curva.

Existen dos tipos de concavidades para analizar y visualizar la curvatura de una ecuación en R2, las cuales se mencionan a continuación:

1) Concavidad hacia arriba.

Sea una función y=f(x) con "x" como variable independiente cuyo dominio pertenece a los reales de tal forma que es posible seccionar su dominio en dos partes cuya característica hace que una parte del dominio describa una curva "decreciente" (1) y en la otra parte de su dominio se tendrá una curva "creciente" (2). La siguiente imagen muestra una concavidad hacia arriba:

Gráfica 1: Concavidad hacia arriba.

La siguiente imagen muestra los intervalos del dominio de la variable independiente en los que la gráfica es decreciente y creciente, según lo mencionado anteriormente.

Gráfica 2: Intervalos decreciente y creciente de la gráfica 1.

Como se puede observar, es posible partir una gráfica de una curva en dos partes (no necesariamente tienen que ser simétricas) en donde termina el recorrido de una curva decreciente y comienza el recorrido de una curva creciente. 

2) Concavidad hacia abajo.

En este caso, la curva que representa este caso, posee las condiciones inversas a la curva presentada en el caso anterior. Esto es:

1. Comienza con un intervalo creciente.
2. En un punto de la curva se hace el cambio de dirección hacia un intervalo decreciente.

Lo dicho anteriormente, se muestra en las siguientes imágenes:

Gráfica 3: concavidad hacia abajo.

Los tramos creciente y decreciente de la gráfica quedarán ubicados como se muestra en la siguiente imagen:

Gráfica 4: Intervalos creciente y decreciente de la gráfica 3.

En R2 no existe otro tipo concavidad distinta a las mostradas en esta entrada.

En resumen, para distinguir el tipo de concavidad de una curva basta con visualizar la curvatura de la curva e identificar conforme al recorrido del dominio de la gráfica el intervalo creciente/decreciente y el punto en que se hace un cambio de intervalo a decreciente/creciente según corresponda el tipo de concavidad de la curva.

Notas.

(1) Es decir que mientras la variable "x" aumenta de valor f(x) disminuye su valor.

(2) Esto es: mientras la variable "x" aumenta de valor también lo hace f(x).

Bibliografía.

Arcos Quezada, Ismael. Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería, 3a. Edición. Editorial Kali-Xotl. Toluca, México. 2011. Pp. 92-95.

Integrales elementales y no elementales, ¿Cuáles son?

 Integrales elementales.

Para ir directo al punto, diremos que las integrales elementales es toda expresión algebraica que es integrable por alguna de las fórmulas de integración ya desarrolladas hasta nuestros días. Estas fórmulas de integración pueden encontrarse generalmente en los libros de Cálculo y en los manuales de integración. Recordemos que la integral es una antiderivada; es decir, es el proceso inverso a la derivada. Sabiendo esto; es posible desarrollar una fórmula de integración que funcione para cualquier función con una determinada forma o estructura matemática. A continuación, se muestra una tabla con fórmulas para integrar:

Fórmulas de integración. (1)

Por lo tanto; cualquier función o expresión algebraica que pueda integrarse por alguna de las fórmulas mostradas en el enlace o por cualquier otra fórmula, se dirá que es una integral elemental.

Integrales no elementales.

Las integrales no elementales, son todas aquellas expresiones algebraicas que no se pueden integrar por alguna de las fórmulas de integración descritas anteriormente. Se dice que son funciones o expresiones algebraicas no integrables.

Teniendo en cuenta el concepto de integral; en muchas ocasiones es útil valuar la integral en un intervalo <a,b>, para descubrir el área bajo la curva, la longitud de arco o cualquier otra aplicación. En este caso, cuando nos encontramos con integrales no elementales y deseamos saber el valor de la integral valuada en un determinado intervalo; es necesario emplear el método del trapecio para poder encontrar el valor de la integral.

A continuación, se muestra un ejemplo de integral no elemental y la forma en que se le da solución:

Cálculo de longitud de arco de una curva en un intervalo determinado.

Notas:

(1) Anexo tomado del libro: Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Elaborado por el Doctor Ismael Arcos Quezada.

¿Qué es una diferencial?

En esta entrada se definirá el concepto de diferencial desde un punto de vista del cálculo infinitesimal.

Conocimientos previos:

Para comprender mejor el concepto de diferencial que se desglosará en esta entrada, se pide al lector tener claros los siguientes conceptos:

1. Números infinitesimales.
2. Números infinitesimales de "n" orden.
   
3. Números hiperreales.
4. Números reales.

Sea una función y=f(x), su diferencial será un incremento infinitamente pequeño en la variable independiente de la función.  

Entiéndase por incremento la diferencia entre el valor nuevo y el valor original en el que se está valuando la función.

Así por ejemplo; si queremos saber el incremento que se ha producido en y=f(x) cuando se ha adoptado un valor inicial "a" en la variable independiente y ésta ha logrado incrementarse a un valor "b", entonces en y=f(x) también se realizará un incremento proporcional al realizado en su variable independiente. Dichos incrementos se expresarían de la siguiente forma;

1. En la variable independiente:

 Incremento= b-a ; esto es: valor final - valor inicial.

  2. En la variable dependiente:

Incremento= f(b) - f(a) ; esto es: el valor de la función f(x) valuado en el valor final de la variable independiente menos el valor de la función f(x) valuada en su valor original de la variable independiente. 

Se llama diferencial al incremento producido entre un valor real en la variable independiente y un valor infinitesimal en la misma variable (1); de tal forma que el incremento queda expresado como:

Sea y=f(x) una función continua valuada en x=a. Además; utilícese la notación dx o df(x) para designar un incremento infinitamente pequeño en la variable tanto dependiente como independiente y llámese a este incremento en particular con el nombre de "diferencial". Entonces la diferencial para sus respectivas variables será:

1. En la variable independiente: diferencial= valor final menos valor inicial= a + dx-a=dx
   
2. En la variable dependiente: diferencial= f(a+dx)-f(a)

El resultado de la diferencial dependerá del grado de la función de la ecuación y de su configuración en general. 

A continuación, se procederá a realizar una diferencial de una función lineal.

Sea f(x)=x+a

Entonces: df(x)=f(x+dx)-f(x)=x+a+dx -(x+a)=x+a+dx-x-a=dx

Si se tiene una función cuadrática, se tendría como ejemplo la siguiente función:

Sea f(x)= x^2+a

Entonces: df(x)=f(x+dx)-f(x)=(x+dx)^2+a-x^2-a=x^2+2xdx+dx^2-x^2=2xdx+dx^2

Éste resultado contempla el involucramiento de un infinitesimal de segundo orden (dx^2) el cual es infinitamente pequeño respecto al término (2xdx). Ahora bien; es importante ubicar este resultado en un conjunto numérico hiperreal de segundo orden (**R). (2)

Dado que las matemáticas aplicadas se encargan de estudiar nuestro medio físico utilizando diversos modelos matemáticos y considerando que lo "infinitamente pequeño" (números infinitesimales de "n" orden), aún no puede ser medible ni perceptible ante los sentidos del ser humano, por lo general, solo es útil considerar el término que arroja números reales perceptibles a los sentidos del ser humano. Por ello, el resultado anterior quedará expresado  de la siguiente manera para poder tener una aplicación real en nuestro entorno: 

df^r(x)=2xdx ; en donde: df^r(x) indica la parte real de la diferencial.

Aunque "dx" es una cantidad infinitamente pequeña y considerando que si multiplicamos una cantidad muy pequeña por un número cualquiera, dicho número se reduce de acuerdo a la "pequeñez" del número con el que es multiplicado. Teniendo en cuenta que ese número es infinitamente pequeño, podríamos inferir que cualquier número real multiplicado por un infinitesimal, nos daría como resultado otro infinitesimal. Por ende; en realidad "2xdx" vendría siendo un infinitesimal de primer orden.

Indicamos que es la parte real de la diferencial, porque es la parte que al manipularla acorde a las reglas del álgebra, es posible determinar una cantidad real medible ante los sentidos del ser humano que puede ser utilizada y aplicada en modelos matemáticos para predecir el comportamiento de ciertos fenómenos.

Un ejemplo de lo mencionado anteriormente es que la división entre dos números infinitesimales, nos dará como resultado un número real medible.

Teniendo esto en cuenta, podemos realizar lo siguiente:

Dado que dy=df^r(x) => dy/dx=2x

Observe que (2x) es una cantidad real medible y dy junto con dx, son incrementos infinitamente pequeños tanto en la variable dependiente (y), como en la variable independiente (x), al final, deducimos inequívocamente que se trata de una pendiente ya que la pendiente es la razón de la diferencia de dos valores dados tanto en las ordenadas (numerador) como en las abscisas (denominador), por ello; si valuamos la derivada dy/dx en cualquier valor de "x", estaremos obteniendo la pendiente de la curva  f(x)= x^2+a en la abscisa donde se ha valuado.

Obsérvese que llamamos "diferencial" al incremento infinitamente pequeño que se puede presentar en la variable independiente y por tanto, ese incremento tendrá una correspondencia con la variable dependiente.

Y llamamos "derivada" a la razón existente entre las diferenciales de la variables dependiente e independiente.

Referencias.

(1) Arcos Quezada, Ismael. Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Kali-Xotl, 3a Edición. Toluca, México. 2011. pág. 48.

(2) Selem Ávila, Elías. (1997). n-extensiones propias de *R de cardinales Nn. Aportaciones matemáticas, 13-24.

Bibliografía.

Arcos Quezada, Ismael.(2011). Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Kali-Xotl, 3a Edición. Toluca, México. pág. 48.

Jiménez Colín, Alfredo. (2021). Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales. Revista Educere, Número 82, 825-839. Recuperado de: Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales.

Selem Ávila, Elías. (1997). n-extensiones propias de *R de cardinales Nn. Aportaciones matemáticas, 13-24.

Universidad Autónoma del Estado de México. (2007). Cálculo diferencial e integral. Toluca, México: Núñez Salazar, Joel, Contreras Garduño, Lorenzo, Gómez Tagle Fernández de Córdova, Juan Manuel, Rojas González, Jorge & Laredo Santín, Juan.

Sobre las dificultades de la enseñanza del Cálculo infinitesimal en las aulas.

El cálculo infinitesimal fue una de las herramientas más útiles para el estudio de los fenómenos y cuerpos que nos rodean. Desarrollado primeramente por matemáticos como Sir. Isaac Newton y Leibniz Gottfried; esta herramienta en sus inicios fue duramente criticada por matemáticos contemporáneos debido a ciertas flaquezas detectadas en esta herramienta. Sin embargo; la comunidad científica seguía utilizando el cálculo infinitesimal, debido a la eficacia del cálculo infinitesimal en el estudio de los cuerpos y fenómenos que nos rodean. 

 

El cálculo infinitesimal fue puliéndose y perfeccionándose con el pasar de los siglos. Sin embargo, no pudo superar ciertas "inconsistencias" detectadas como "severas", "graves" o "inadmisibles" en el campo de las matemáticas, lo cual ocasionó que dicha herramienta cayera de la gracia de la comunidad científica y por tanto en desuso. Quedando sustituido por el cálculo basado en el concepto de límite. Empero, existe evidencia de que el cálculo infinitesimal aún era utilizado por científicos que usaban los infinitesimales para realizar sus trabajos y posteriormente, presentaban sus resultados desde la perspectiva del cálculo basado en el concepto de límite. Esto con la finalidad de que sus trabajos fueran aceptados por la comunidad científica que miraba con mayor aprobación al cálculo basado en el concepto de límite que en el desarrollado bajo la perspectiva de los infinitesimales. 

 

 El cálculo infinitesimal, volvió a su uso en las aulas y la comunidad científica abrió su aceptación a esta herramienta (aunque aún parece existir cierto recelo), desde la invención o descubrimiento del análisis no estándar de Abraham Robinson. Sin embargo, el análisis no estándar no es enseñado en las aulas de ingeniería, debido a su elevado grado de abstracción, argumentándose que su entendimiento es factible para estudiantes con perfil  de carreras de matemáticas puras. Ocasionando que en la comunidad de estudiantes de ingeniería surjan diversos tipos de dudas, cuestionamientos e incluso hasta escepticismo acerca de la validez del cálculo infinitesimal; ya que el cálculo infinitesimal enseñado en las facultades de ingeniería, adquiere una perspectiva con tintes más parecidos al cálculo desarrollado inicialmente por Gottfried Leibniz que por el cálculo infinitesimal explicado por Abraham Robinson, ocasionando que existan algunos estudiantes de la comunidad de ingeniería, que vuelven a detectar las mismas inconsistencias detectadas por filósofos y matemáticos en el cálculo infinitesimal hasta antes de la llegada del análisis no estándar. 

 

En este artículo titulado: " Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales " , se plasma una propuesta para representar integrales, diferenciales y operaciones que involucran números infinitesimales y reales, con la finalidad de contribuir en la disipación de esta oscuridad generada en la comprensión del cálculo infinitesimal en la comunidad de estudiantes de ingeniería sin involucrar el alto grado de abstracción que requiere el análisis no estándar para ser comprendido. 

 

 Espero que este trabajo sea de utilidad para los profesores que imparten la asignatura de Cálculo I o Cálculo Infinitesimal en la Facultad de Ingeniería. 

 

 Artículo: Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales.

Número completo. Revista Educere.

 

 

 

 

Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería (Reseña de libro).

 En esta entrada se ajunta el libro y un video con una reseña del libro de "Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería" del Dr. Ismael Arcos Quezada.

Libro.

1. Aritmética y Geometría infinitesimalistas
2. Aproximación polinómica I. Funciones algebraicas
3. Graficación de funciones I. Asíntotas, saltos y agujeros
4. Incremento, diferencial y recta tangente
5. Razón de cambio y función derivada
6. Aproximación polinómica II. Funciones trascendentes
7. Graficación de funciones I. Uso del Cálculo Diferencial
8. Problemas de optimización
9. Operación de integración. Cálculo de primitivas
10. Proceso de integración en el cálculo de cantidades geométricas
11. Anexos

Libro: Tips para obtener buen promedio en la universidad.

Dominio, rango y gráfica de una elipse.

En esta entrada se publica un video el cuál muestra el procedimiento a seguir para determinar el dominio, rango y gráfica de una elipse vertical con centro en el origen.

Si necesitas algún formulario para apoyarte en el seguimiento y entendimiento del ejercicio; puedes consultar los siguientes formularios:

Formulario de Geometría Analítica para: Nivel Medio Superior.

                                                                  Nivel Superior.

                                     

  Donativos.

Hipérbola vertical con centro en el origen.

En esta entrada podrás conocer el procedimiento para obtener el dominio y rango de una hipérbola; así como su ecuación canónica.

Para poder facilitar la comprensión del siguiente ejercicio, te recomiendo que consultes los siguientes formularios de Geometría Analítica, ubicándote en el apartado correspondiente para las "Hipérbolas". Se recomienda que si hay algo que no comprendas, consultes el formulario para entender el desarrollo del ejercicio.

Los formularios los puedes consultar, haciendo clic en los siguientes enlaces:

Formulario 1: Formulario de Geometría Analítica de Educación Superior.

 

Formulario 2: Formulario de Geometría Analítica. Educación Media Superior.

El documento, puedes consultarlo haciendo clic en el siguiente enlace: Hipérbola Vertical (Ejercicio)

Imagen: Gráfica de una hipérbola con centro en el origen.

Donativos

Referencias:

Quezada Arcos, Ismael. Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. 3a. Edición. Editorial Kali-Xotl. Funciones reales. Toluca, México. 2011.