Ecuaciones simétricas de una recta.

Dada una recta L en el espacio definida por dos puntos de los cuales uno de ellos es conocido; además se conoce que es paralela a un vector V que se ubica en el espacio, como se muestra en la siguiente figura:

Imagen 1: Recta en el espacio paralela a V.

Entonces es posible conocer las ecuaciones simétricas de la recta las cuales parten y se desarrollan a partir del siguiente raciocinio:

Si L//V entonces en L existirán dos puntos cualesquiera sobre la recta tales que PP1//V, es decir que se pueda formar sobre la recta un vector paralelo a V. Además si multiplicamos a cualquiera de los dos vectores por un parámetro "t" es posible establecer una igualdad entre los dos vectores; así se tendría: PP1=tV, este parámetro "t" permitirá aumentar o reducir el tamaño de V, para que sea igual en tamaño, dirección y sentido que el vector formado sobre la recta L. A continuación se muestra con números lo dicho:

 Sea P1=(x1,y1,z1) ^ P=(x,y,z), donde P1 ^ P son dos puntos sobre L y donde P1 es un punto conocido y P uno desconocido pero que se sabe que está sobre la recta. Además, el vector V=(a,b,c); donde {a,b,c} pertenecen a los reales. Si formamos un vector paralelo a V sobre la recta con misma dirección y sentido se tendría:

PP1= (x-x1,y-y1,z-z1)

Ahora  bien, si igualamos el vector PP1 con V por medio del parámetro t, se tendría:

PP1=tV

(x-x1,y-y1,z-z1)=t(a,b,c); con t perteneciente a los reales.

 (x-x1,y-y1,z-z1)=(ta,tb,tc)

 Ahora bien, t será el parámetro tal que permitirá enunciar la siguiente igualdad:

x-x1=ta   ---1

y-y1=tb   ---2

z-z1=tc   ---3

 Si de las tres ecuaciones despejamos a t, se tendrá:

Dado que en los tres casos el parámetro "t" es el mismo, es posible igualar estas tres ecuaciones, formando así las ecuaciones simétricas de una recta en el espacio.

Imagen 2: ecuaciones simétricas de una recta en el espacio.

 

Bibliografía.

Fuller, Gordon. (2001). Geometría Analítica. México.  CECSA, 5th edición. Pp. 309-310.