Definición de derivada de una función.

Se recomienda que el lector tenga claro los significados de "Función real de variable real",  "Diferencial", "números hiperreales" y "números infinitesimales de "n" orden" para una mejor comprensión de este texto; los cuales podrá consultar haciendo clic en los siguientes enlaces y en los textos recomendados en la bibliografía:

=> Diferencial 

=> Función

 Dependiendo del campo de estudio en que se utilice la derivada, esta puede tener distintas connotaciones como lo son: la velocidad de un móvil, la pendiente de una curva, la rapidez de un móvil, etc...

Ismael Arcos Quezada menciona en su libro: "...la derivada de una función real en una variable es una razón de cambio, la medida del cambio de la función correspondiente a un cambio unitario en el valor de la variable" (1)

Se menciona que la derivada de una función real en una variable es una razón de cambio; pero ¿qué es una razón de cambio?

Definición 1. Se llama razón de cambio al cociente de dos incrementos tanto en la variable independiente como en la dependiente de la función.

De esta forma; sea y=f(x) en donde "x" será la variable independiente y "y" la dependiente; si existe un incremento (2) en "x" por consiguiente también lo existirá en "y"; entonces se podrá expresar la razón de cambio de la siguiente forma:

Sea un punto P1(a, f(a)) que habita sobre la curva y=f(x); se desea saber el incremento en ambas variables cuando x=b, con a y b pertenecientes a los reales. Entonces, existirá un punto P2(b,f(b)) sobre la curva y sus respectivos incrementos en cada una de las variables será:

Imagen 1: Incrementos en ambas variables.

Supongamos que si se quiere determinar un incremento infinitesimal, denotando dicho incremento con el par de letras "dx" correspondiente para la variable independiente y "dy" correspondiente para la variable dependiente, se tendrá:

Sea ahora el punto inicial P1(x, f(x)) y P2 (x+dx, f(x+dx)), donde "dx" será una cantidad infinitamente pequeña: 

Imagen 2: Incremento en cada una de las variables involucrando un infinitesimal.

 Si expresamos estos incrementos como una razón de cambio, tendríamos:

Imagen 3: Razón de cambio de dos incrementos

Ahora bien, dado que una función real de variable real que es derivable sobre un intervalo I tiene que ser continua a lo largo de dicho intervalo, entonces es posible dictaminar que el incremento que se produzca sobre la variable dependiente también será infinitesimal; si dicho incremento infinitesimal lo expresamos con la letra "d", entonces la razón de cambio quedará expresada como:

Imagen 4: Derivada de una función.

Entiéndase por esta expresión como la razón de cambio de dos incrementos infinitesimales.

Para comprender mejor el concepto de derivada y lo que está sucediendo en una función real de variable real cuando se deriva, se propondrá la siguiente función y se procederá a derivarla:

Sea:

Imagen 5: Derivada de una recta en el plano.

 Como puede observase, la derivada de una función de variable real que es continua en un intervalo I, puede entenderse y visualizarse como la razón del cambio existente en la variable dependiente (numerador) por un cambio unitario de la variable independiente (denominador). Esto es debido a que, como ya habíamos visto y desarrollado, la derivada es una razón de cambio de dos incrementos efectuados tanto en la variable dependiente como independiente (ver imagen 2 y 3), por ello el resultado de la derivada puede entenderse como la medida del cambio existente en la función dado un incremento infinitesimal por un cambio unitario en la variable independiente.

Realizaremos un último ejemplo con una parábola con eje focal vertical o directriz horizontal.

Sea:

 

Imagen 6: Proceso de derivación de una función cuadrática.

Dado que en la imagen 6 se arroja un infinitesimal de segundo orden, será necesario separar aquellas cantidades que pertenecen al conjunto numérico de los números reales de aquellos números que son hiperreales. Para realizar esta separación, utilizaremos la notación propuesta por Alfredo Jiménez Colín (3). De esta forma, si queremos visualizar la expresión resultante únicamente en su parte real, tendríamos:

Imagen 7: Derivada de una parábola con eje focal vertical.

 Nuevamente es posible visualizar el resultado como una razón de cambio resultante en la variable dependiente por un cambio unitario en la variable independiente.

Referencias.

(1) Arcos Quezada, José Ismael. Cálculo 2 para estudiantes de ingeniería. Editorial Kali. 4ta edición. Toluca, México. 2022. pág. 7. 

(3) Jiménez Colín, Alfredo. (2021). Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales. Revista Educere, Número 82, 825-839. Recuperado de: Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales.

 Notas.

(2) Entiéndase por incremento al aumento longitudinal que se tiene en cada uno de los elementos de la coordenada después de ser valuada en sus valores original y final de la función. (Ver concepto de Diferencial)

Bibliografía.

(4) Ely, Robert. (2010). Nonstandard Student Conceptions About Infinitesimals. Journal for Research in Mathematics Education, 117-146.

(5) Selem Ávila, Elías. (1997). n-extensiones propias de *R de cardinales Nn. Aportaciones matemáticas, 13-24.