¿Puede una matriz con más columnas que filas generar Rm?

Respuesta: Sea una matriz A de dimensión mxn con m<n, entonces esta matriz posee la característica de tener más columnas que filas, por tanto la respuesta es sí. La justificación se presenta a continuación:

Téngase en consideración una matriz A de dimensión 2x3 cuya configuración general se muestra a continuación:

Matriz general 2x3.

 

Por tanto, la matriz aumentada quedará representada como:

Matriz general 2x3 aumentada.

 Como el vector que se aumentó a la matriz A tiene dos componentes (b1 y b2), querrá decir que se procederá a evaluar si las columnas de A pueden generar R2, para ello será necesario determinar la matriz reducida de A aumentada.

Siempre y cuando la matriz presente una consistencia, podrán producirse los siguientes dos casos:

Caso I:

Matriz aumentada general en caso I.

Recordemos que el símbolo (*) significa que dicha entrada tiene un cúmulo de operaciones entre los valores originales de la matriz y los relacionados con las operaciones de fila en el proceso de reducción.

Ahora bien, aquí se produce un sistema de ecuaciones de tres variables y dos ecuaciones; en donde la tercer variable quedará libre; ésta última variable podrá adoptar cualquier número real y será esta una vez que se le haya asignado un valor la que hará posible la solución de un sistema 2X2 y dado que esta tercer variable puede adoptar infinidad de valores en el campo de los números reales, así mismo, el conjunto solución podrá adoptar infinidad de valores y combinaciones correspondientes al sistema 2X2 formado cuando se le asigna un valor a la tercer variable, lo cual hará posible la generación en R2 en este caso. Y en un caso general en donde la matriz tiene una dimensión mxn, con m<n y una configuración como la presentada en este caso, se presentará la generación en Rm. El sistema formado se muestra a continuación:

Sistema representado con variables. (Caso I)

Restando el término de la variable libre en ambos lados de la igualdad de las ecuaciones se tiene:

 Sustituyendo la variable x2 en la primer ecuación se tiene:

Despejando x1:

Como x3 es libre, quiere decir que puede adoptar cualquier valor real; esto nos indica que se puede generar un abanico infinito de soluciones en el sistema; al final, x1 y x2, serán constantes y se formará un vector solución (x1,x2,x3) distinto a cada valor de x3. Sin embargo, aquí lo que nos interesa es responder la siguiente pregunta: ¿Pueden las columnas de esta matriz generar R2?

Si las columnas de la matriz generan R2, entonces las componentes b1 y b2, podrán tomar cualquier valor real formándose así infinitas combinaciones de vectores (b1,b2), por tanto, la pregunta que nos revelará si las columnas de la matriz generan R2 será: ¿Pueden las componentes b1 y b2 tomar cualquier valor real? 

La respuesta corta es sí. A continuación se describe la justificación:

Como ya habíamos dictaminado; la variable x3 del sistema es libre; por lo cual si:

Entonces siempre existirá una solución del sistema ya que los únicos casos en los que se encontraría una inconsistencia sería que al dar un valor cualquiera a b1 y b2, se realizara la división entre cero o se determinara una raíz cuadrada de un número real negativo en las operaciones de reducción por filas, sin embargo; éstas operaciones (dividir entre cero y determinar la raíz cuadrada de un número) son operaciones que no se realizan en las operaciones de reducción por filas. Por ello, tanto b1 como b2, podrán adoptar cualquier valor real y el sistema presentará una consistencia. 

Caso II:

Matriz consistente condicionada.

 

El otro caso de consistencia se presentará siempre que *b2=0, más sin embargo; aquí ya hablamos de cierta condición o limitación en los valores que pueda adoptar (b1,b2) para que después de realizar el proceso de reducción por filas la entrada correspondiente al lugar de *b2 sea igual a cero. Por tanto, hablamos de ciertos valores que (b1,b2) puedan adoptar para que el sistema sea consistente.

Conclusión: Las columnas de una matriz que después de realizar el procedimiento de reducción por filas se llega a esta configuración no puede generar R2.