¿Cómo insertar el número Pi en excel?

En la aplicación Excel es posible insertar el número Pi con una precisión de 15 cifras.

Solo hay que realizar el siguiente paso: 

Posicionarse en una celda de Excel e introducir la siguiente fórmula:

=PI()

Poner "enter" y el número Pi saldrá en el celda. Ahora bien, hay que tener en consideración que si se desea hacer operaciones con el número Pi es necesario colocar el operador antes del número Pi, como se muestra en el siguiente ejemplo:

Determinar el valor de 30 veces el número pi.

 Solución: Introducir en una celda de Excel la siguiente fórmula mostrada en la imagen:

Imagen 1: uso del número Pi en excel.

 

Finalmente solo será necesario introducir la tecla "enter" y el resultado será mostrado.

Los operadores que deberán ir antes del número PI() deberán ser los siguientes: +,-,*,/ (Suma, resta, multiplicación y división respectivamente)

En dado caso de querer operar el número pi sin usar ninguno de los operadores antes descritos, Excel nos marcará un error que se corrige utilizando el número Pi como en la imagen 1.

Ecuación general de la Elipse.

 La ecuación general de la elipse parte de la ecuación general de segundo grado, la cual se muestra a continuación:

Ecuación general de segundo grado.

Donde A, B, C, D, E, y F, son los coeficientes de la ecuación y son números pertenecientes al conjunto de los números reales. De tal forma que dependiendo del valor de sus coeficientes es como podremos clasificar la ecuación en alguna de las cuatro cónicas que se pueden formar cortando un cono recto a través de un plano. 

En el caso particular de la ecuación de una elipse, el plano que cortará al cono deberá tener una cierta inclinación respecto al eje horizontal, formándose una elipse en la superficie del plano que corta al cono recto. Tal como se puede apreciar en la siguiente imagen:

Plano inclinado cortando un cono recto. (1)

La ecuación general de una elipse involucra todos los posibles casos que puedan describir una elipse, entre ellos encontramos tres clases de elipses las cuales se enuncian a continuación:

1. Elipses con centro en el origen.
2. Elipses con centro en el punto (h,k)
3. Elipses rotadas con centro en (h,k) o en el origen.

Cada caso cuenta con su respectiva ecuación y sin embargo la ecuación general de segundo grado, puede describir cualquiera de estos casos, dependiendo del valor de los coeficientes de la ecuación. 

Por ejemplo:

1. Si B, D y E son cero, F menor que cero, A y C tienen el mismo signo, son mayores que cero y A es diferente de C, entonces, la ecuación describe el primer caso.
   
2. Si B=0, A y C poseen el mismo signo y tienen valores distintos, D, E y F son diferentes de cero, la ecuación podría describir una elipse del caso 2.
3. Si B es diferente de cero; A y C poseen el mismo signo y tienen valores distintos entre sí, D, E, son diferentes de cero y F adopta cualquier valor real; entonces podría tratarse de una elipse ubicada en el caso 3.

Decimos "podría" porque hace falta un análisis profundo de la ecuación para dictaminar la veracidad de que la ecuación describa una elipse que se encuentre en cualquiera de los tres casos enunciados anteriormente. Ya que algunas veces, una ecuación puede presentar las características antes descritas y resultar ser un punto en el espacio, una recta, dos rectas o no tener gráfica.

 Referencias:

(1) Imagen tomada de: PIZiadas

Bibliografía:

Fuller Gordon, Geometría Analítica, CECSA, 5th edición, páginas: 141-153.

Integrales elementales y no elementales, ¿Cuáles son?

 Integrales elementales.

Para ir directo al punto, diremos que las integrales elementales es toda expresión algebraica que es integrable por alguna de las fórmulas de integración ya desarrolladas hasta nuestros días. Estas fórmulas de integración pueden encontrarse generalmente en los libros de Cálculo y en los manuales de integración. Recordemos que la integral es una antiderivada; es decir, es el proceso inverso a la derivada. Sabiendo esto; es posible desarrollar una fórmula de integración que funcione para cualquier función con una determinada forma o estructura matemática. A continuación, se muestra una tabla con fórmulas para integrar:

Fórmulas de integración. (1)

Por lo tanto; cualquier función o expresión algebraica que pueda integrarse por alguna de las fórmulas mostradas en el enlace o por cualquier otra fórmula, se dirá que es una integral elemental.

Integrales no elementales.

Las integrales no elementales, son todas aquellas expresiones algebraicas que no se pueden integrar por alguna de las fórmulas de integración descritas anteriormente. Se dice que son funciones o expresiones algebraicas no integrables.

Teniendo en cuenta el concepto de integral; en muchas ocasiones es útil valuar la integral en un intervalo <a,b>, para descubrir el área bajo la curva, la longitud de arco o cualquier otra aplicación. En este caso, cuando nos encontramos con integrales no elementales y deseamos saber el valor de la integral valuada en un determinado intervalo; es necesario emplear el método del trapecio para poder encontrar el valor de la integral.

A continuación, se muestra un ejemplo de integral no elemental y la forma en que se le da solución:

Cálculo de longitud de arco de una curva en un intervalo determinado.

Notas:

(1) Anexo tomado del libro: Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Elaborado por el Doctor Ismael Arcos Quezada.

¿Qué es una diferencial?

En esta entrada se definirá el concepto de diferencial desde un punto de vista del cálculo infinitesimal.

Conocimientos previos:

Para comprender mejor el concepto de diferencial que se desglosará en esta entrada, se pide al lector tener claros los siguientes conceptos:

1. Números infinitesimales.
2. Números infinitesimales de "n" orden.
   
3. Números hiperreales.
4. Números reales.

Sea una función y=f(x), su diferencial será un incremento infinitamente pequeño en la variable independiente de la función.  

Entiéndase por incremento la diferencia entre el valor nuevo y el valor original en el que se está valuando la función.

Así por ejemplo; si queremos saber el incremento que se ha producido en y=f(x) cuando se ha adoptado un valor inicial "a" en la variable independiente y ésta ha logrado incrementarse a un valor "b", entonces en y=f(x) también se realizará un incremento proporcional al realizado en su variable independiente. Dichos incrementos se expresarían de la siguiente forma;

1. En la variable independiente:

 Incremento= b-a ; esto es: valor final - valor inicial.

  2. En la variable dependiente:

Incremento= f(b) - f(a) ; esto es: el valor de la función f(x) valuado en el valor final de la variable independiente menos el valor de la función f(x) valuada en su valor original de la variable independiente. 

Se llama diferencial al incremento producido entre un valor real en la variable independiente y un valor infinitesimal en la misma variable (1); de tal forma que el incremento queda expresado como:

Sea y=f(x) una función continua valuada en x=a. Además; utilícese la notación dx o df(x) para designar un incremento infinitamente pequeño en la variable tanto dependiente como independiente y llámese a este incremento en particular con el nombre de "diferencial". Entonces la diferencial para sus respectivas variables será:

1. En la variable independiente: diferencial= valor final menos valor inicial= a + dx-a=dx
   
2. En la variable dependiente: diferencial= f(a+dx)-f(a)

El resultado de la diferencial dependerá del grado de la función de la ecuación y de su configuración en general. 

A continuación, se procederá a realizar una diferencial de una función lineal.

Sea f(x)=x+a

Entonces: df(x)=f(x+dx)-f(x)=x+a+dx -(x+a)=x+a+dx-x-a=dx

Si se tiene una función cuadrática, se tendría como ejemplo la siguiente función:

Sea f(x)= x^2+a

Entonces: df(x)=f(x+dx)-f(x)=(x+dx)^2+a-x^2-a=x^2+2xdx+dx^2-x^2=2xdx+dx^2

Éste resultado contempla el involucramiento de un infinitesimal de segundo orden (dx^2) el cual es infinitamente pequeño respecto al término (2xdx). Ahora bien; es importante ubicar este resultado en un conjunto numérico hiperreal de segundo orden (**R). (2)

Dado que las matemáticas aplicadas se encargan de estudiar nuestro medio físico utilizando diversos modelos matemáticos y considerando que lo "infinitamente pequeño" (números infinitesimales de "n" orden), aún no puede ser medible ni perceptible ante los sentidos del ser humano, por lo general, solo es útil considerar el término que arroja números reales perceptibles a los sentidos del ser humano. Por ello, el resultado anterior quedará expresado  de la siguiente manera para poder tener una aplicación real en nuestro entorno: 

df^r(x)=2xdx ; en donde: df^r(x) indica la parte real de la diferencial.

Aunque "dx" es una cantidad infinitamente pequeña y considerando que si multiplicamos una cantidad muy pequeña por un número cualquiera, dicho número se reduce de acuerdo a la "pequeñez" del número con el que es multiplicado. Teniendo en cuenta que ese número es infinitamente pequeño, podríamos inferir que cualquier número real multiplicado por un infinitesimal, nos daría como resultado otro infinitesimal. Por ende; en realidad "2xdx" vendría siendo un infinitesimal de primer orden.

Indicamos que es la parte real de la diferencial, porque es la parte que al manipularla acorde a las reglas del álgebra, es posible determinar una cantidad real medible ante los sentidos del ser humano que puede ser utilizada y aplicada en modelos matemáticos para predecir el comportamiento de ciertos fenómenos.

Un ejemplo de lo mencionado anteriormente es que la división entre dos números infinitesimales, nos dará como resultado un número real medible.

Teniendo esto en cuenta, podemos realizar lo siguiente:

Dado que dy=df^r(x) => dy/dx=2x

Observe que (2x) es una cantidad real medible y dy junto con dx, son incrementos infinitamente pequeños tanto en la variable dependiente (y), como en la variable independiente (x), al final, deducimos inequívocamente que se trata de una pendiente ya que la pendiente es la razón de la diferencia de dos valores dados tanto en las ordenadas (numerador) como en las abscisas (denominador), por ello; si valuamos la derivada dy/dx en cualquier valor de "x", estaremos obteniendo la pendiente de la curva  f(x)= x^2+a en la abscisa donde se ha valuado.

Obsérvese que llamamos "diferencial" al incremento infinitamente pequeño que se puede presentar en la variable independiente y por tanto, ese incremento tendrá una correspondencia con la variable dependiente.

Y llamamos "derivada" a la razón existente entre las diferenciales de la variables dependiente e independiente.

Referencias.

(1) Arcos Quezada, Ismael. Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Kali-Xotl, 3a Edición. Toluca, México. 2011. pág. 48.

(2) Selem Ávila, Elías. (1997). n-extensiones propias de *R de cardinales Nn. Aportaciones matemáticas, 13-24.

Bibliografía.

Arcos Quezada, Ismael.(2011). Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Kali-Xotl, 3a Edición. Toluca, México. pág. 48.

Jiménez Colín, Alfredo. (2021). Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales. Revista Educere, Número 82, 825-839. Recuperado de: Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales.

Selem Ávila, Elías. (1997). n-extensiones propias de *R de cardinales Nn. Aportaciones matemáticas, 13-24.

Universidad Autónoma del Estado de México. (2007). Cálculo diferencial e integral. Toluca, México: Núñez Salazar, Joel, Contreras Garduño, Lorenzo, Gómez Tagle Fernández de Córdova, Juan Manuel, Rojas González, Jorge & Laredo Santín, Juan.

Sobre las dificultades de la enseñanza del Cálculo infinitesimal en las aulas.

El cálculo infinitesimal fue una de las herramientas más útiles para el estudio de los fenómenos y cuerpos que nos rodean. Desarrollado primeramente por matemáticos como Sir. Isaac Newton y Leibniz Gottfried; esta herramienta en sus inicios fue duramente criticada por matemáticos contemporáneos debido a ciertas flaquezas detectadas en esta herramienta. Sin embargo; la comunidad científica seguía utilizando el cálculo infinitesimal, debido a la eficacia del cálculo infinitesimal en el estudio de los cuerpos y fenómenos que nos rodean. 

 

El cálculo infinitesimal fue puliéndose y perfeccionándose con el pasar de los siglos. Sin embargo, no pudo superar ciertas "inconsistencias" detectadas como "severas", "graves" o "inadmisibles" en el campo de las matemáticas, lo cual ocasionó que dicha herramienta cayera de la gracia de la comunidad científica y por tanto en desuso. Quedando sustituido por el cálculo basado en el concepto de límite. Empero, existe evidencia de que el cálculo infinitesimal aún era utilizado por científicos que usaban los infinitesimales para realizar sus trabajos y posteriormente, presentaban sus resultados desde la perspectiva del cálculo basado en el concepto de límite. Esto con la finalidad de que sus trabajos fueran aceptados por la comunidad científica que miraba con mayor aprobación al cálculo basado en el concepto de límite que en el desarrollado bajo la perspectiva de los infinitesimales. 

 

 El cálculo infinitesimal, volvió a su uso en las aulas y la comunidad científica abrió su aceptación a esta herramienta (aunque aún parece existir cierto recelo), desde la invención o descubrimiento del análisis no estándar de Abraham Robinson. Sin embargo, el análisis no estándar no es enseñado en las aulas de ingeniería, debido a su elevado grado de abstracción, argumentándose que su entendimiento es factible para estudiantes con perfil  de carreras de matemáticas puras. Ocasionando que en la comunidad de estudiantes de ingeniería surjan diversos tipos de dudas, cuestionamientos e incluso hasta escepticismo acerca de la validez del cálculo infinitesimal; ya que el cálculo infinitesimal enseñado en las facultades de ingeniería, adquiere una perspectiva con tintes más parecidos al cálculo desarrollado inicialmente por Gottfried Leibniz que por el cálculo infinitesimal explicado por Abraham Robinson, ocasionando que existan algunos estudiantes de la comunidad de ingeniería, que vuelven a detectar las mismas inconsistencias detectadas por filósofos y matemáticos en el cálculo infinitesimal hasta antes de la llegada del análisis no estándar. 

 

En este artículo titulado: " Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales " , se plasma una propuesta para representar integrales, diferenciales y operaciones que involucran números infinitesimales y reales, con la finalidad de contribuir en la disipación de esta oscuridad generada en la comprensión del cálculo infinitesimal en la comunidad de estudiantes de ingeniería sin involucrar el alto grado de abstracción que requiere el análisis no estándar para ser comprendido. 

 

 Espero que este trabajo sea de utilidad para los profesores que imparten la asignatura de Cálculo I o Cálculo Infinitesimal en la Facultad de Ingeniería. 

 

 Artículo: Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales.

Número completo. Revista Educere.

 

 

 

 

Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería (Reseña de libro).

 En esta entrada se ajunta el libro y un video con una reseña del libro de "Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería" del Dr. Ismael Arcos Quezada.

Libro.

1. Aritmética y Geometría infinitesimalistas
2. Aproximación polinómica I. Funciones algebraicas
3. Graficación de funciones I. Asíntotas, saltos y agujeros
4. Incremento, diferencial y recta tangente
5. Razón de cambio y función derivada
6. Aproximación polinómica II. Funciones trascendentes
7. Graficación de funciones I. Uso del Cálculo Diferencial
8. Problemas de optimización
9. Operación de integración. Cálculo de primitivas
10. Proceso de integración en el cálculo de cantidades geométricas
11. Anexos

Libro: Tips para obtener buen promedio en la universidad.

¿Qué es un campo en matemáticas?

 Para entender qué es un campo en matemáticas, primero debemos de tener claros, los siguientes conceptos: 

Ley de composición interna: Téngase un conjunto no vacío A, si se toman dos elementos del conjunto A y se operan, dando como resultado un número o componente del mismo conjunto A; entonces, se cumple la Ley de composición interna, denotada por: * (1)

Monoide: Es todo par ordenado donde se cumple la Ley de composición interna. Por ejemplo, el par: (A,*) es un monoide siempre que A sea un conjunto no vacío y además se cumpla la Ley de composición interna.

Axioma: Es un conocimiento tan evidente que no necesita demostración. (2)

Axioma conmutativo: Téngase dos elementos  (a y b)  del conjunto A. Si al realizar la operación: a*b se verifica que: a*b=b*a; entonces se dirá que el monoirde (A,*) es conmutativo.

Axioma asociativo: Ténganse tres elementos del conjunto A: a, b y c. Si al operarlos de la siguiente forma: (a*b)*c=a*(b*c), se cumple la igualdad; se dirá que el monoide (A,*) es asociativo.

Elemento idéntico (3): Téngase cualquier elemento del conjunto A; (por ejemplo, el elemento "a" que pertenece al conjunto A). Si al operarlo por sus elementos idénticos (por la derecha y por la izquierda), se cumple que los elementos idénticos sean iguales y pertenecientes al conjunto A. Entonces, se dirá que el monide (A,*) tiene elemento idéntico. Esto es:

Sea: "a" un elemento perteneciente al conjunto A. Si:

a*ed=a y ei*a=a, donde ed y ei pertenecen al conjunto A y además: ed=ei.

=> el monoíde (A,*) tiene elemento idéntico.

Elemento inverso: Para cualquier elemento del conjunto A. Al operarlo con su elemento inverso (por la izquierda y por la derecha), deberá ser igual al elemento idéntico (Por la derecha y por la izquierda respectivamente). Además, si se cumple que el elemento inverso por la derecha es igual al elemento inverso por la izquierda. Entonces, se dirá que el monoide (A,*) tiene elemento inverso. Esto es:

a*id=ed

ii*a=ei

Donde: "id" es el elemento inverso por la derecha e "ii" es el elemento inverso por la izquierda. Análogamente se tiene que: "ed" y "ei" son los elementos idénticos por la derecha e izquierda respectivamente.

Además, para que un monoide (A,*) tenga elemento inverso, se deberá cumplir que: id=ii.

Grupo conmutativo: Si para un monoide de la forma: (A,*), se cumplen los axiomas conmutativo y asociativo. Y además, dicho monoide tiene elemento idéntico e inverso; entonces se dirá que el monoide (A,*) tiene estructura algebraica de grupo conmutativo.

Con estos conceptos ya podemos definir lo que es un campo.

Una terna (A,x,+) tiene estructura de campo sí:

1. El monoide (A,+) tiene estructura de grupo conmutativo con elemento idéntico o neutro igual a cero. (Aquí se debe de cumplir los axiomas conmutativo y asociativo. Tener elemento inverso y elemento idéntico igual a cero).
2. El monoide (A,x) tiene estructura de grupo conmutativo. (Aquí, se debe de cumplir los axiomas conmutativo y asociativo. Además deberá tener elemento idéntico e inverso, no importando que el elemento idéntico sea distinto de cero.)
3. La operación (x) es distributiva con respecto a la operación (+).

Notas y fuentes:

(1) La operación * suele representar la suma o la multiplicación.

(2) Robles Mejía, Mario. (2009). Ingeniería y Sociedad (Material de aula). Universidad Autónoma del Estado de México. Toluca, México.

(3) Algunos autores llaman a este elemento como: "elemento neutro". Reyes Guerrero, Araceli. (2005). Álgebra Superior. Thomson. 1a Edición. México. Pág. 256-257.

Bibliografía: 

(1) Vilchis Becerril, Francisco. (2009). Álgebra superior 175 ejercicios típicos, soluciones.  Kali. 2a Edición. México.

(2) Álgebra Lineal II: Grupos y campos.