¿Qué es un campo en matemáticas?

 Para entender qué es un campo en matemáticas, primero debemos de tener claros, los siguientes conceptos: 

Ley de composición interna: Téngase un conjunto no vacío A, si se toman dos elementos del conjunto A y se operan, dando como resultado un número o componente del mismo conjunto A; entonces, se cumple la Ley de composición interna, denotada por: * (1)

Monoide: Es todo par ordenado donde se cumple la Ley de composición interna. Por ejemplo, el par: (A,*) es un monoide siempre que A sea un conjunto no vacío y además se cumpla la Ley de composición interna.

Axioma: Es un conocimiento tan evidente que no necesita demostración. (2)

Axioma conmutativo: Téngase dos elementos  (a y b)  del conjunto A. Si al realizar la operación: a*b se verifica que: a*b=b*a; entonces se dirá que el monoirde (A,*) es conmutativo.

Axioma asociativo: Ténganse tres elementos del conjunto A: a, b y c. Si al operarlos de la siguiente forma: (a*b)*c=a*(b*c), se cumple la igualdad; se dirá que el monoide (A,*) es asociativo.

Elemento idéntico (3): Téngase cualquier elemento del conjunto A; (por ejemplo, el elemento "a" que pertenece al conjunto A). Si al operarlo por sus elementos idénticos (por la derecha y por la izquierda), se cumple que los elementos idénticos sean iguales y pertenecientes al conjunto A. Entonces, se dirá que el monide (A,*) tiene elemento idéntico. Esto es:

Sea: "a" un elemento perteneciente al conjunto A. Si:

a*ed=a y ei*a=a, donde ed y ei pertenecen al conjunto A y además: ed=ei.

=> el monoíde (A,*) tiene elemento idéntico.

Elemento inverso: Para cualquier elemento del conjunto A. Al operarlo con su elemento inverso (por la izquierda y por la derecha), deberá ser igual al elemento idéntico (Por la derecha y por la izquierda respectivamente). Además, si se cumple que el elemento inverso por la derecha es igual al elemento inverso por la izquierda. Entonces, se dirá que el monoide (A,*) tiene elemento inverso. Esto es:

a*id=ed

ii*a=ei

Donde: "id" es el elemento inverso por la derecha e "ii" es el elemento inverso por la izquierda. Análogamente se tiene que: "ed" y "ei" son los elementos idénticos por la derecha e izquierda respectivamente.

Además, para que un monoide (A,*) tenga elemento inverso, se deberá cumplir que: id=ii.

Grupo conmutativo: Si para un monoide de la forma: (A,*), se cumplen los axiomas conmutativo y asociativo. Y además, dicho monoide tiene elemento idéntico e inverso; entonces se dirá que el monoide (A,*) tiene estructura algebraica de grupo conmutativo.

Con estos conceptos ya podemos definir lo que es un campo.

Una terna (A,x,+) tiene estructura de campo sí:

1. El monoide (A,+) tiene estructura de grupo conmutativo con elemento idéntico o neutro igual a cero. (Aquí se debe de cumplir los axiomas conmutativo y asociativo. Tener elemento inverso y elemento idéntico igual a cero).
2. El monoide (A,x) tiene estructura de grupo conmutativo. (Aquí, se debe de cumplir los axiomas conmutativo y asociativo. Además deberá tener elemento idéntico e inverso, no importando que el elemento idéntico sea distinto de cero.)
3. La operación (x) es distributiva con respecto a la operación (+).

Notas y fuentes:

(1) La operación * suele representar la suma o la multiplicación.

(2) Robles Mejía, Mario. (2009). Ingeniería y Sociedad (Material de aula). Universidad Autónoma del Estado de México. Toluca, México.

(3) Algunos autores llaman a este elemento como: "elemento neutro". Reyes Guerrero, Araceli. (2005). Álgebra Superior. Thomson. 1a Edición. México. Pág. 256-257.

Bibliografía: 

(1) Vilchis Becerril, Francisco. (2009). Álgebra superior 175 ejercicios típicos, soluciones.  Kali. 2a Edición. México.

(2) Álgebra Lineal II: Grupos y campos.