Serie de Taylor.

La serie de Taylor sirve para encontrar o aproximar el valor de una función del tipo:

(1) Función con imagen o valor dispuesto en serie de potencias.

    Observe que es el desarrollo de una sumatoria cuyo límite inferior comienza en cero y su límite superior es infinito. Quiere decir que será imposible encontrar el valor exacto de esa función. Es por eso que partimos necesariamente al concepto de la serie de Taylor para poder encontrar una aproximación del valor de esa función por medio del concepto de polinomio de Taylor.

     Empezaremos por desarrollar el concepto de la serie de Taylor y después explicaremos por qué es necesario emplear el concepto de polinomio de Taylor para poder encontrar una aproximación de la función expuesta en la imagen anterior.

  Desarrollando la expresión que tenemos en la imagen 1, tendremos:

Expresión 1: Serie de potencias desarrollada.

Recordemos que la serie de potencias no se detiene porque su límite superior es infinito, por ello, en la expresión 1, cortamos la serie con los puntos suspensivos, indicando que la serie sigue sin tener fin.

Lo que seguirá a continuación, será que empezaremos a derivar la expresión con cada uno de los valores de la sumatoria, empezando desde n=1 (porque al tener f'(x), la constante a0 de f(x) será cero, por esa razón ahora la sumatoria comenzará en n=1)

Para la primer derivada de f(x):

(2) : Primera derivada de f(x).

Desarrollando f'(x) se tiene:

(3) : Desarrollo de (2).

Ahora bien, si volvemos a derivar (3), a1=0; la serie comenzará desde el término n=2. Así:

(4): Segunda derivada de f(x).

Es preciso aclarar que se pueden realizar "n" derivadas de f(x), en este texto realizaremos hasta la cuarta derivada:

(5): Tercera derivada de f(x).

(6): Cuarta derivada de f(x).

Ahora bien, si hacemos x=c, podremos encontrar el valor de los coeficientes "a", así:

Aquí se puede descubrir que el coeficiente "a" estará multiplicado por "n!", así, si tenemos la quinta derivada, el coeficiente "a5" estará multiplicado por 5!. Visualizando este patrón, es posible determinar la siguiente expresión para cualquier valor de "n":

Expresión 2: Derivada "n" de serie de Taylor valuada en "c".

Y es con esta expresión que nos será posible determinar el valor de "an", así:

Expresión 3: valor de cada coeficiente de la serie de Taylor.

Con la expresión 2, podemos saber los primero 5 coeficientes de la serie de Taylor y en general los "n" coeficientes de la serie. Para presentar la serie de Taylor con sus primeros cuatro coeficientes, se expone la siguiente expresión:

Expresión 4: serie de Taylor.

 

 

Es importante recalcar que la serie no tiene fin y podemos descubrir "n" términos de la serie como nosotros queramos.

Observe que hemos llegado a la expresión 4 por medio de sustituir cada valor "an" sobre la expresión 1, dando como resultado la expresión 4.

Ahora bien, vamos a explicar por qué es necesario aplicar el polinomio de Taylor para poder conocer un valor aproximado de (1) y la explicación es que el polinomio de Taylor concentra un número finito de términos de la serie de Taylor, generando un valor tangible y aproximado de (1). En base a lo dicho en este párrafo se escribirá la expresión que describe el polinomio de Taylor.

Expresión 5: polinomio de Taylor.

Observe que a diferencia de la serie de Taylor, el polinomio de Taylor tiene términos finitos, mientras que la serie de Taylor deja mostrar su infinitud en términos.

Supongamos que tenemos una función del tipo descrita en (1) o en la expresión 1, no será posible saber el valor exacto de la función, pero por medio del polinomio de Taylor será posible descubrir un valor aproximado de (1); así por ejemplo, tal vez usted, desee tomar los primeros 5 términos del polinomio de Taylor para arrojar un valor de la función expresada en (1), y entre más términos del polinomio de Taylor se consideren se irá aumentando la precisión del valor de la función en (1).

La serie de Taylor y el polinomio de Taylor pueden aplicarse a toda función exponencial, la cuestión es que no es posible saber el valor exacto de toda función exponencial y por medio del Polinomio de Taylor es posible encontrar un valor aproximado de la función cuando es valuada alrededor de un número real. Cuando es posible saber el valor exacto de la función exponencial, no tiene caso o sentido aplicar esta teoría, pues sería posible conocer su valor con una calculadora científica. Sin embargo, el lector podría realizar la comparativa valuando sobre la serie de Taylor y comparando con los valores del polinomio de Taylor con "n" términos para descubrir el número de términos que serán necesarios tomar en el polinomio de Taylor para generar valores iguales en la cantidad de las cifras decimales que se deseen tomar.

Bibliografía.

1) Arcos Quezada, Ismael. (2011). Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Editorial Kali-Xotl.

2) W. Swokowski, Earl. (1989). Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica.

La regla de la cadena (Notación de Leibniz).

Cuando encontramos la regla de la cadena en un libro de cálculo, hacemos principalmente referencia a la derivada de una función compuesta por otra función que a su vez (esa otra función) estará compuesta por otra función que contendrá la variable independiente. Entonces; si quisiéramos saber la derivada de la primera función compuesta, respecto a la variable independiente, tendríamos que utilizar la siguiente expresión llamada regla de la cadena. No es complicado intuir el origen del nombre de la expresión, pues es posible explicarla partiendo de la observación de la estructura de una cadena de metal. 

Sea: w=f(u), y u=g(x), entonces:

 

Expresión 1: Regla de la cadena.

Observe la siguiente imagen:

 

La regla de la cadena adquiere sentido cuando usted observa la imagen de arriba. Aplicado al cálculo de una variable, piense que la primera argolla (1)  representa una variable, la segunda una segunda variable que depende de la anterior y la tercer argolla representará una tercera variable que depende de la anterior. Como se observa en la estructura de la cadena, siempre habrá una argolla que no dependa de ninguna (será la primera) y habrá una última que dependerá de la anterior, que a su vez dependerá de la anterior, y así, hasta llegar a la primer argolla. En relación con la expresión 1, piense que derivaremos la tercer argolla respecto a la primer argolla. (2). 

La expresión 1, se encuentra anotada con la notación de Leibniz, sin embargo; también podríamos encontrarla en otras notaciones como la de "Límites". En este texto, daremos una sencilla forma de llegar a la expresión 1 usando notación de Leibniz:

1) Parta de dw/dx:

 

2) Multiplique por du/du en ambos lados de la igualdad:

 

 

 

3) Realice las siguientes consideraciones (4):

 

4) Llegando a la expresión 1:

Haciendo du/du=1 del lado izquierdo de la igualdad y del lado derecho solo reordenamos du/du, obtenemos la expresión 1.

 

Expresión 1: Regla de la cadena.

 Notas:

(1) Da lo mismo si usted comienza a observar la cadena de abajo hacia arriba que de arriba hacia abajo, solo siga el hilo del enunciado que aquí se expone.  

(2)  Para simplificar la compresión se ha optado por realizar esta afirmación que se encuentra subrayada. Empero; podríamos aplicar la regla de la cadena en múltiples situaciones, por ejemplo, si tenemos una cadena compuesta de 10 argollas, podríamos desarrollar la derivada de la última argolla respecto a la antepenúltima argolla. No necesariamente siempre será la derivada de la última argolla respecto a la primer argolla. 

(4) Aquí solo estaremos reordenando du/du del otro lado de la igualdad.

Bibliografía:

 Arcos Quezada, Ismael.(2011). Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Kali-Xotl, 3a Edición. Toluca, México. pág. 66. 

Ecuaciones simétricas de una recta.

Dada una recta L en el espacio definida por dos puntos de los cuales uno de ellos es conocido; además se conoce que es paralela a un vector V que se ubica en el espacio, como se muestra en la siguiente figura:

Imagen 1: Recta en el espacio paralela a V.

Entonces es posible conocer las ecuaciones simétricas de la recta las cuales parten y se desarrollan a partir del siguiente raciocinio:

Si L//V entonces en L existirán dos puntos cualesquiera sobre la recta tales que PP1//V, es decir que se pueda formar sobre la recta un vector paralelo a V. Además si multiplicamos a cualquiera de los dos vectores por un parámetro "t" es posible establecer una igualdad entre los dos vectores; así se tendría: PP1=tV, este parámetro "t" permitirá aumentar o reducir el tamaño de V, para que sea igual en tamaño, dirección y sentido que el vector formado sobre la recta L. A continuación se muestra con números lo dicho:

 Sea P1=(x1,y1,z1) ^ P=(x,y,z), donde P1 ^ P son dos puntos sobre L y donde P1 es un punto conocido y P uno desconocido pero que se sabe que está sobre la recta. Además, el vector V=(a,b,c); donde {a,b,c} pertenecen a los reales. Si formamos un vector paralelo a V sobre la recta con misma dirección y sentido se tendría:

PP1= (x-x1,y-y1,z-z1)

Ahora  bien, si igualamos el vector PP1 con V por medio del parámetro t, se tendría:

PP1=tV

(x-x1,y-y1,z-z1)=t(a,b,c); con t perteneciente a los reales.

 (x-x1,y-y1,z-z1)=(ta,tb,tc)

 Ahora bien, t será el parámetro tal que permitirá enunciar la siguiente igualdad:

x-x1=ta   ---1

y-y1=tb   ---2

z-z1=tc   ---3

 Si de las tres ecuaciones despejamos a t, se tendrá:

Dado que en los tres casos el parámetro "t" es el mismo, es posible igualar estas tres ecuaciones, formando así las ecuaciones simétricas de una recta en el espacio.

Imagen 2: ecuaciones simétricas de una recta en el espacio.

 

Bibliografía.

Fuller, Gordon. (2001). Geometría Analítica. México.  CECSA, 5th edición. Pp. 309-310.

Definición de derivada de una función.

Se recomienda que el lector tenga claro los significados de "Función real de variable real",  "Diferencial", "números hiperreales" y "números infinitesimales de "n" orden" para una mejor comprensión de este texto; los cuales podrá consultar haciendo clic en los siguientes enlaces y en los textos recomendados en la bibliografía:

=> Diferencial 

=> Función

 Dependiendo del campo de estudio en que se utilice la derivada, esta puede tener distintas connotaciones como lo son: la velocidad de un móvil, la pendiente de una curva, la rapidez de un móvil, etc...

Ismael Arcos Quezada menciona en su libro: "...la derivada de una función real en una variable es una razón de cambio, la medida del cambio de la función correspondiente a un cambio unitario en el valor de la variable" (1)

Se menciona que la derivada de una función real en una variable es una razón de cambio; pero ¿qué es una razón de cambio?

Definición 1. Se llama razón de cambio al cociente de dos incrementos tanto en la variable independiente como en la dependiente de la función.

De esta forma; sea y=f(x) en donde "x" será la variable independiente y "y" la dependiente; si existe un incremento (2) en "x" por consiguiente también lo existirá en "y"; entonces se podrá expresar la razón de cambio de la siguiente forma:

Sea un punto P1(a, f(a)) que habita sobre la curva y=f(x); se desea saber el incremento en ambas variables cuando x=b, con a y b pertenecientes a los reales. Entonces, existirá un punto P2(b,f(b)) sobre la curva y sus respectivos incrementos en cada una de las variables será:

Imagen 1: Incrementos en ambas variables.

Supongamos que si se quiere determinar un incremento infinitesimal, denotando dicho incremento con el par de letras "dx" correspondiente para la variable independiente y "dy" correspondiente para la variable dependiente, se tendrá:

Sea ahora el punto inicial P1(x, f(x)) y P2 (x+dx, f(x+dx)), donde "dx" será una cantidad infinitamente pequeña: 

Imagen 2: Incremento en cada una de las variables involucrando un infinitesimal.

 Si expresamos estos incrementos como una razón de cambio, tendríamos:

Imagen 3: Razón de cambio de dos incrementos

Ahora bien, dado que una función real de variable real que es derivable sobre un intervalo I tiene que ser continua a lo largo de dicho intervalo, entonces es posible dictaminar que el incremento que se produzca sobre la variable dependiente también será infinitesimal; si dicho incremento infinitesimal lo expresamos con la letra "d", entonces la razón de cambio quedará expresada como:

Imagen 4: Derivada de una función.

Entiéndase por esta expresión como la razón de cambio de dos incrementos infinitesimales.

Para comprender mejor el concepto de derivada y lo que está sucediendo en una función real de variable real cuando se deriva, se propondrá la siguiente función y se procederá a derivarla:

Sea:

Imagen 5: Derivada de una recta en el plano.

 Como puede observase, la derivada de una función de variable real que es continua en un intervalo I, puede entenderse y visualizarse como la razón del cambio existente en la variable dependiente (numerador) por un cambio unitario de la variable independiente (denominador). Esto es debido a que, como ya habíamos visto y desarrollado, la derivada es una razón de cambio de dos incrementos efectuados tanto en la variable dependiente como independiente (ver imagen 2 y 3), por ello el resultado de la derivada puede entenderse como la medida del cambio existente en la función dado un incremento infinitesimal por un cambio unitario en la variable independiente.

Realizaremos un último ejemplo con una parábola con eje focal vertical o directriz horizontal.

Sea:

 

Imagen 6: Proceso de derivación de una función cuadrática.

Dado que en la imagen 6 se arroja un infinitesimal de segundo orden, será necesario separar aquellas cantidades que pertenecen al conjunto numérico de los números reales de aquellos números que son hiperreales. Para realizar esta separación, utilizaremos la notación propuesta por Alfredo Jiménez Colín (3). De esta forma, si queremos visualizar la expresión resultante únicamente en su parte real, tendríamos:

Imagen 7: Derivada de una parábola con eje focal vertical.

 Nuevamente es posible visualizar el resultado como una razón de cambio resultante en la variable dependiente por un cambio unitario en la variable independiente.

Referencias.

(1) Arcos Quezada, José Ismael. Cálculo 2 para estudiantes de ingeniería. Editorial Kali. 4ta edición. Toluca, México. 2022. pág. 7. 

(3) Jiménez Colín, Alfredo. (2021). Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales. Revista Educere, Número 82, 825-839. Recuperado de: Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales.

 Notas.

(2) Entiéndase por incremento al aumento longitudinal que se tiene en cada uno de los elementos de la coordenada después de ser valuada en sus valores original y final de la función. (Ver concepto de Diferencial)

Bibliografía.

(4) Ely, Robert. (2010). Nonstandard Student Conceptions About Infinitesimals. Journal for Research in Mathematics Education, 117-146.

(5) Selem Ávila, Elías. (1997). n-extensiones propias de *R de cardinales Nn. Aportaciones matemáticas, 13-24.

¿Puede una matriz con más columnas que filas generar Rm?

Respuesta: Sea una matriz A de dimensión mxn con m<n, entonces esta matriz posee la característica de tener más columnas que filas, por tanto la respuesta es sí. La justificación se presenta a continuación:

Téngase en consideración una matriz A de dimensión 2x3 cuya configuración general se muestra a continuación:

Matriz general 2x3.

 

Por tanto, la matriz aumentada quedará representada como:

Matriz general 2x3 aumentada.

 Como el vector que se aumentó a la matriz A tiene dos componentes (b1 y b2), querrá decir que se procederá a evaluar si las columnas de A pueden generar R2, para ello será necesario determinar la matriz reducida de A aumentada.

Siempre y cuando la matriz presente una consistencia, podrán producirse los siguientes dos casos:

Caso I:

Matriz aumentada general en caso I.

Recordemos que el símbolo (*) significa que dicha entrada tiene un cúmulo de operaciones entre los valores originales de la matriz y los relacionados con las operaciones de fila en el proceso de reducción.

Ahora bien, aquí se produce un sistema de ecuaciones de tres variables y dos ecuaciones; en donde la tercer variable quedará libre; ésta última variable podrá adoptar cualquier número real y será esta una vez que se le haya asignado un valor la que hará posible la solución de un sistema 2X2 y dado que esta tercer variable puede adoptar infinidad de valores en el campo de los números reales, así mismo, el conjunto solución podrá adoptar infinidad de valores y combinaciones correspondientes al sistema 2X2 formado cuando se le asigna un valor a la tercer variable, lo cual hará posible la generación en R2 en este caso. Y en un caso general en donde la matriz tiene una dimensión mxn, con m<n y una configuración como la presentada en este caso, se presentará la generación en Rm. El sistema formado se muestra a continuación:

Sistema representado con variables. (Caso I)

Restando el término de la variable libre en ambos lados de la igualdad de las ecuaciones se tiene:

 Sustituyendo la variable x2 en la primer ecuación se tiene:

Despejando x1:

Como x3 es libre, quiere decir que puede adoptar cualquier valor real; esto nos indica que se puede generar un abanico infinito de soluciones en el sistema; al final, x1 y x2, serán constantes y se formará un vector solución (x1,x2,x3) distinto a cada valor de x3. Sin embargo, aquí lo que nos interesa es responder la siguiente pregunta: ¿Pueden las columnas de esta matriz generar R2?

Si las columnas de la matriz generan R2, entonces las componentes b1 y b2, podrán tomar cualquier valor real formándose así infinitas combinaciones de vectores (b1,b2), por tanto, la pregunta que nos revelará si las columnas de la matriz generan R2 será: ¿Pueden las componentes b1 y b2 tomar cualquier valor real? 

La respuesta corta es sí. A continuación se describe la justificación:

Como ya habíamos dictaminado; la variable x3 del sistema es libre; por lo cual si:

Entonces siempre existirá una solución del sistema ya que los únicos casos en los que se encontraría una inconsistencia sería que al dar un valor cualquiera a b1 y b2, se realizara la división entre cero o se determinara una raíz cuadrada de un número real negativo en las operaciones de reducción por filas, sin embargo; éstas operaciones (dividir entre cero y determinar la raíz cuadrada de un número) son operaciones que no se realizan en las operaciones de reducción por filas. Por ello, tanto b1 como b2, podrán adoptar cualquier valor real y el sistema presentará una consistencia. 

Caso II:

Matriz consistente condicionada.

 

El otro caso de consistencia se presentará siempre que *b2=0, más sin embargo; aquí ya hablamos de cierta condición o limitación en los valores que pueda adoptar (b1,b2) para que después de realizar el proceso de reducción por filas la entrada correspondiente al lugar de *b2 sea igual a cero. Por tanto, hablamos de ciertos valores que (b1,b2) puedan adoptar para que el sistema sea consistente.

Conclusión: Las columnas de una matriz que después de realizar el procedimiento de reducción por filas se llega a esta configuración no puede generar R2.

Convertidor de unidades.

Convierte las unidades deseadas rápidamente con este programa, genera nuevas unidades de medida o añade muevas unidades de medida.

Las unidades de medida con las que cuenta este convertidor son:

• Masa:
  Slug
  Kg
• Tiempo:
  Segundo
  Minuto
  Hora
  Día
• Longitud:
  in
  ft
  m
  km
  mi
  yd (yarda)
  
• Fuerza:
  Lb
  N
  Oz (onza)
  Kg
• Ángulo:
  rad (radianes)
  Grados
  Rev (Revoluciones)
  
• Área:
  mm2
  cm2
  m2
  in2
  ft2
  acre
  hectárea
• Potencia:
  Hp (Caballos fuerza)
  Kw (Kilowatts)
  lbft/s
• Presión:
  lb/in2
  Pa (Pascales)
  
• Volumen:
  Gl (galón)
  L
  Barril
  mm3
  cm3
  m3
  in3
  ft3
  in3

Los datos para adquirirlo así como el funcionamiento del mismo, se encuentran el siguiente video:

¿Pueden las columnas de una matriz de dimensión mxn generar Rm si m>n?

Sea una matriz A de dimensión 3X2 de componentes:

Matriz 3x2 general.

 

Entonces deseamos saber si cualquier vector en R3 puede ser generado por la combinación lineal de las columnas de A. Por lo que al construir nuestra matriz aumentada se tendrá:

Matriz aumentada.

 El siguiente paso consistirá en construir la matriz reducida, en donde se podrán dar solo dos opciones. Las cuales son: O la matriz es consistente o la matriz es inconsistente. Sabemos que una matriz inconsistente no puede generar Rm, por el contrario, una matriz consistente sí lo puede pero no cuando m>n, por la siguiente razón: 

Una matriz con esta característica no podrá generar R3, debido a que los valores de la columna aumentada (b1,b2,b3) estarán condicionados a adoptar ciertos valores para que la matriz sea consistente. Lo dicho anteriormente, se muestra a continuación:

1. 

   Matriz reducida.

    En donde el símbolo "*" denota el nuevo valor de la entrada de la matriz después de realizar las operaciones de reducción por filas. 

   Si la matriz es consistente; entonces *b3=0 y poseerá una ecuación de la siguiente forma:

   

   Ecuación 1.

    
   

    

   Como se mencionó anteriormente, los valores de b1,b2 y b3, estarán condicionados a adoptar valores tales que hagan que la ecuación se satisfaga, situación particular que imposibilita que A pueda generar R3.

   Conclusión: Una matriz de dimensión mxn con m>n NO puede generar Rm.
   

A continuación, se muestra un ejercicio en donde se muestran las operaciones que en esta entrada se denotan con el símbolo "*".

Imagen: Explicación del por qué una matriz con más filas que columnas no puede generar Rm.