Serie de Taylor.

La serie de Taylor sirve para encontrar o aproximar el valor de una función del tipo:

(1) Función con imagen o valor dispuesto en serie de potencias.

    Observe que es el desarrollo de una sumatoria cuyo límite inferior comienza en cero y su límite superior es infinito. Quiere decir que será imposible encontrar el valor exacto de esa función. Es por eso que partimos necesariamente al concepto de la serie de Taylor para poder encontrar una aproximación del valor de esa función por medio del concepto de polinomio de Taylor.

     Empezaremos por desarrollar el concepto de la serie de Taylor y después explicaremos por qué es necesario emplear el concepto de polinomio de Taylor para poder encontrar una aproximación de la función expuesta en la imagen anterior.

  Desarrollando la expresión que tenemos en la imagen 1, tendremos:

Expresión 1: Serie de potencias desarrollada.

Recordemos que la serie de potencias no se detiene porque su límite superior es infinito, por ello, en la expresión 1, cortamos la serie con los puntos suspensivos, indicando que la serie sigue sin tener fin.

Lo que seguirá a continuación, será que empezaremos a derivar la expresión con cada uno de los valores de la sumatoria, empezando desde n=1 (porque al tener f'(x), la constante a0 de f(x) será cero, por esa razón ahora la sumatoria comenzará en n=1)

Para la primer derivada de f(x):

(2) : Primera derivada de f(x).

Desarrollando f'(x) se tiene:

(3) : Desarrollo de (2).

Ahora bien, si volvemos a derivar (3), a1=0; la serie comenzará desde el término n=2. Así:

(4): Segunda derivada de f(x).

Es preciso aclarar que se pueden realizar "n" derivadas de f(x), en este texto realizaremos hasta la cuarta derivada:

(5): Tercera derivada de f(x).

(6): Cuarta derivada de f(x).

Ahora bien, si hacemos x=c, podremos encontrar el valor de los coeficientes "a", así:

Aquí se puede descubrir que el coeficiente "a" estará multiplicado por "n!", así, si tenemos la quinta derivada, el coeficiente "a5" estará multiplicado por 5!. Visualizando este patrón, es posible determinar la siguiente expresión para cualquier valor de "n":

Expresión 2: Derivada "n" de serie de Taylor valuada en "c".

Y es con esta expresión que nos será posible determinar el valor de "an", así:

Expresión 3: valor de cada coeficiente de la serie de Taylor.

Con la expresión 2, podemos saber los primero 5 coeficientes de la serie de Taylor y en general los "n" coeficientes de la serie. Para presentar la serie de Taylor con sus primeros cuatro coeficientes, se expone la siguiente expresión:

Expresión 4: serie de Taylor.

 

 

Es importante recalcar que la serie no tiene fin y podemos descubrir "n" términos de la serie como nosotros queramos.

Observe que hemos llegado a la expresión 4 por medio de sustituir cada valor "an" sobre la expresión 1, dando como resultado la expresión 4.

Ahora bien, vamos a explicar por qué es necesario aplicar el polinomio de Taylor para poder conocer un valor aproximado de (1) y la explicación es que el polinomio de Taylor concentra un número finito de términos de la serie de Taylor, generando un valor tangible y aproximado de (1). En base a lo dicho en este párrafo se escribirá la expresión que describe el polinomio de Taylor.

Expresión 5: polinomio de Taylor.

Observe que a diferencia de la serie de Taylor, el polinomio de Taylor tiene términos finitos, mientras que la serie de Taylor deja mostrar su infinitud en términos.

Supongamos que tenemos una función del tipo descrita en (1) o en la expresión 1, no será posible saber el valor exacto de la función, pero por medio del polinomio de Taylor será posible descubrir un valor aproximado de (1); así por ejemplo, tal vez usted, desee tomar los primeros 5 términos del polinomio de Taylor para arrojar un valor de la función expresada en (1), y entre más términos del polinomio de Taylor se consideren se irá aumentando la precisión del valor de la función en (1).

La serie de Taylor y el polinomio de Taylor pueden aplicarse a toda función exponencial, la cuestión es que no es posible saber el valor exacto de toda función exponencial y por medio del Polinomio de Taylor es posible encontrar un valor aproximado de la función cuando es valuada alrededor de un número real. Cuando es posible saber el valor exacto de la función exponencial, no tiene caso o sentido aplicar esta teoría, pues sería posible conocer su valor con una calculadora científica. Sin embargo, el lector podría realizar la comparativa valuando sobre la serie de Taylor y comparando con los valores del polinomio de Taylor con "n" términos para descubrir el número de términos que serán necesarios tomar en el polinomio de Taylor para generar valores iguales en la cantidad de las cifras decimales que se deseen tomar.

Bibliografía.

1) Arcos Quezada, Ismael. (2011). Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Editorial Kali-Xotl.

2) W. Swokowski, Earl. (1989). Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica.