Sobre las dificultades de la enseñanza del Cálculo infinitesimal en las aulas.

El cálculo infinitesimal fue una de las herramientas más útiles para el estudio de los fenómenos y cuerpos que nos rodean. Desarrollado primeramente por matemáticos como Sir. Isaac Newton y Leibniz Gottfried; esta herramienta en sus inicios fue duramente criticada por matemáticos contemporáneos debido a ciertas flaquezas detectadas en esta herramienta. Sin embargo; la comunidad científica seguía utilizando el cálculo infinitesimal, debido a la eficacia del cálculo infinitesimal en el estudio de los cuerpos y fenómenos que nos rodean. 

 

El cálculo infinitesimal fue puliéndose y perfeccionándose con el pasar de los siglos. Sin embargo, no pudo superar ciertas "inconsistencias" detectadas como "severas", "graves" o "inadmisibles" en el campo de las matemáticas, lo cual ocasionó que dicha herramienta cayera de la gracia de la comunidad científica y por tanto en desuso. Quedando sustituido por el cálculo basado en el concepto de límite. Empero, existe evidencia de que el cálculo infinitesimal aún era utilizado por científicos que usaban los infinitesimales para realizar sus trabajos y posteriormente, presentaban sus resultados desde la perspectiva del cálculo basado en el concepto de límite. Esto con la finalidad de que sus trabajos fueran aceptados por la comunidad científica que miraba con mayor aprobación al cálculo basado en el concepto de límite que en el desarrollado bajo la perspectiva de los infinitesimales. 

 

 El cálculo infinitesimal, volvió a su uso en las aulas y la comunidad científica abrió su aceptación a esta herramienta (aunque aún parece existir cierto recelo), desde la invención o descubrimiento del análisis no estándar de Abraham Robinson. Sin embargo, el análisis no estándar no es enseñado en las aulas de ingeniería, debido a su elevado grado de abstracción, argumentándose que su entendimiento es factible para estudiantes con perfil  de carreras de matemáticas puras. Ocasionando que en la comunidad de estudiantes de ingeniería surjan diversos tipos de dudas, cuestionamientos e incluso hasta escepticismo acerca de la validez del cálculo infinitesimal; ya que el cálculo infinitesimal enseñado en las facultades de ingeniería, adquiere una perspectiva con tintes más parecidos al cálculo desarrollado inicialmente por Gottfried Leibniz que por el cálculo infinitesimal explicado por Abraham Robinson, ocasionando que existan algunos estudiantes de la comunidad de ingeniería, que vuelven a detectar las mismas inconsistencias detectadas por filósofos y matemáticos en el cálculo infinitesimal hasta antes de la llegada del análisis no estándar. 

 

En este artículo titulado: " Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales " , se plasma una propuesta para representar integrales, diferenciales y operaciones que involucran números infinitesimales y reales, con la finalidad de contribuir en la disipación de esta oscuridad generada en la comprensión del cálculo infinitesimal en la comunidad de estudiantes de ingeniería sin involucrar el alto grado de abstracción que requiere el análisis no estándar para ser comprendido. 

 

 Espero que este trabajo sea de utilidad para los profesores que imparten la asignatura de Cálculo I o Cálculo Infinitesimal en la Facultad de Ingeniería. 

 

 Artículo: Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales.

Número completo. Revista Educere.

 

 

 

 

Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería (Reseña de libro).

 En esta entrada se ajunta el libro y un video con una reseña del libro de "Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería" del Dr. Ismael Arcos Quezada.

Libro.

1. Aritmética y Geometría infinitesimalistas
2. Aproximación polinómica I. Funciones algebraicas
3. Graficación de funciones I. Asíntotas, saltos y agujeros
4. Incremento, diferencial y recta tangente
5. Razón de cambio y función derivada
6. Aproximación polinómica II. Funciones trascendentes
7. Graficación de funciones I. Uso del Cálculo Diferencial
8. Problemas de optimización
9. Operación de integración. Cálculo de primitivas
10. Proceso de integración en el cálculo de cantidades geométricas
11. Anexos

Libro: Tips para obtener buen promedio en la universidad.

¿Qué es un campo en matemáticas?

 Para entender qué es un campo en matemáticas, primero debemos de tener claros, los siguientes conceptos: 

Ley de composición interna: Téngase un conjunto no vacío A, si se toman dos elementos del conjunto A y se operan, dando como resultado un número o componente del mismo conjunto A; entonces, se cumple la Ley de composición interna, denotada por: * (1)

Monoide: Es todo par ordenado donde se cumple la Ley de composición interna. Por ejemplo, el par: (A,*) es un monoide siempre que A sea un conjunto no vacío y además se cumpla la Ley de composición interna.

Axioma: Es un conocimiento tan evidente que no necesita demostración. (2)

Axioma conmutativo: Téngase dos elementos  (a y b)  del conjunto A. Si al realizar la operación: a*b se verifica que: a*b=b*a; entonces se dirá que el monoirde (A,*) es conmutativo.

Axioma asociativo: Ténganse tres elementos del conjunto A: a, b y c. Si al operarlos de la siguiente forma: (a*b)*c=a*(b*c), se cumple la igualdad; se dirá que el monoide (A,*) es asociativo.

Elemento idéntico (3): Téngase cualquier elemento del conjunto A; (por ejemplo, el elemento "a" que pertenece al conjunto A). Si al operarlo por sus elementos idénticos (por la derecha y por la izquierda), se cumple que los elementos idénticos sean iguales y pertenecientes al conjunto A. Entonces, se dirá que el monide (A,*) tiene elemento idéntico. Esto es:

Sea: "a" un elemento perteneciente al conjunto A. Si:

a*ed=a y ei*a=a, donde ed y ei pertenecen al conjunto A y además: ed=ei.

=> el monoíde (A,*) tiene elemento idéntico.

Elemento inverso: Para cualquier elemento del conjunto A. Al operarlo con su elemento inverso (por la izquierda y por la derecha), deberá ser igual al elemento idéntico (Por la derecha y por la izquierda respectivamente). Además, si se cumple que el elemento inverso por la derecha es igual al elemento inverso por la izquierda. Entonces, se dirá que el monoide (A,*) tiene elemento inverso. Esto es:

a*id=ed

ii*a=ei

Donde: "id" es el elemento inverso por la derecha e "ii" es el elemento inverso por la izquierda. Análogamente se tiene que: "ed" y "ei" son los elementos idénticos por la derecha e izquierda respectivamente.

Además, para que un monoide (A,*) tenga elemento inverso, se deberá cumplir que: id=ii.

Grupo conmutativo: Si para un monoide de la forma: (A,*), se cumplen los axiomas conmutativo y asociativo. Y además, dicho monoide tiene elemento idéntico e inverso; entonces se dirá que el monoide (A,*) tiene estructura algebraica de grupo conmutativo.

Con estos conceptos ya podemos definir lo que es un campo.

Una terna (A,x,+) tiene estructura de campo sí:

1. El monoide (A,+) tiene estructura de grupo conmutativo con elemento idéntico o neutro igual a cero. (Aquí se debe de cumplir los axiomas conmutativo y asociativo. Tener elemento inverso y elemento idéntico igual a cero).
2. El monoide (A,x) tiene estructura de grupo conmutativo. (Aquí, se debe de cumplir los axiomas conmutativo y asociativo. Además deberá tener elemento idéntico e inverso, no importando que el elemento idéntico sea distinto de cero.)
3. La operación (x) es distributiva con respecto a la operación (+).

Notas y fuentes:

(1) La operación * suele representar la suma o la multiplicación.

(2) Robles Mejía, Mario. (2009). Ingeniería y Sociedad (Material de aula). Universidad Autónoma del Estado de México. Toluca, México.

(3) Algunos autores llaman a este elemento como: "elemento neutro". Reyes Guerrero, Araceli. (2005). Álgebra Superior. Thomson. 1a Edición. México. Pág. 256-257.

Bibliografía: 

(1) Vilchis Becerril, Francisco. (2009). Álgebra superior 175 ejercicios típicos, soluciones.  Kali. 2a Edición. México.

(2) Álgebra Lineal II: Grupos y campos.

Dominio, rango y gráfica de una elipse.

En esta entrada se publica un video el cuál muestra el procedimiento a seguir para determinar el dominio, rango y gráfica de una elipse vertical con centro en el origen.

Si necesitas algún formulario para apoyarte en el seguimiento y entendimiento del ejercicio; puedes consultar los siguientes formularios:

Formulario de Geometría Analítica para: Nivel Medio Superior.

                                                                  Nivel Superior.

                                     

  Donativos.

Hipérbola vertical con centro en el origen.

En esta entrada podrás conocer el procedimiento para obtener el dominio y rango de una hipérbola; así como su ecuación canónica.

Para poder facilitar la comprensión del siguiente ejercicio, te recomiendo que consultes los siguientes formularios de Geometría Analítica, ubicándote en el apartado correspondiente para las "Hipérbolas". Se recomienda que si hay algo que no comprendas, consultes el formulario para entender el desarrollo del ejercicio.

Los formularios los puedes consultar, haciendo clic en los siguientes enlaces:

Formulario 1: Formulario de Geometría Analítica de Educación Superior.

 

Formulario 2: Formulario de Geometría Analítica. Educación Media Superior.

El documento, puedes consultarlo haciendo clic en el siguiente enlace: Hipérbola Vertical (Ejercicio)

Imagen: Gráfica de una hipérbola con centro en el origen.

Donativos

Referencias:

Quezada Arcos, Ismael. Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. 3a. Edición. Editorial Kali-Xotl. Funciones reales. Toluca, México. 2011.

Tipos de simetría.

 ¿Alguna vez has ido a un lago; te has parado cerca del lago y te has visto reflejado en el agua?

Imagen 1: El agua reflejo, Johanna Nikolaus. 

Pues bien; así se comporta la simetría en matemáticas.

Para comprender mejor cómo se comporta la simetría de una gráfica de dos dimensiones en matemáticas, realicemos la siguiente actividad: 

• Dobla una hoja de papel.
• Dibuja algo con un lápiz sobre una de las mitades de la hoja y coloréala con lápiz; remarca los bordes con más fuerza que el color de relleno.
• Dobla la hoja de tal forma que lo que dibujaste toque la otra mitad de hoja.
• Talla la hoja con un rodillo o objeto (Puedes usar un plumón; usarlo como rodillo), una y otra vez, hasta que la figura en la otra mitad de la hoja se haya formado.

Espero que lo hayas logrado; porque es de esa forma como se comporta la simetría de una gráfica en dos dimensiones.

Ahora, enunciaremos los tres tipos de simetría que existen en una gráfica de un plano coordenado en dos dimensiones.

1) Simetría respecto al eje "x".

Téngase una ecuación cualquiera; si sustituimos en esa ecuación a "-y" (con signo negativo), en donde quiera que se encuentre la variable "y" de la ecuación. Posteriormente, si la ecuación sigue siendo la misma, entonces; la gráfica de la ecuación es simétrica respecto al eje x.

En otras palabras; téngase la gráfica de una ecuación, si doblamos la gráfica alrededor del eje "x" y se alcanza a empalmar con la otra mitad de la hoja, decimos que la gráfica es simétrica respecto al eje "x". Y es aquí, donde se da el efecto de reflejo de agua en una gráfica.

Un ejemplo de una gráfica simétrica respecto al eje "x" es la gráfica de una parábola horizontal con eje focal paralelo al eje x.

Imagen 2: Parábola horizontal con simetría respecto al eje "x".

2) Simetría respecto al eje "y".

A partir de una ecuación cualquiera, si al sustituir "-x" en la ecuación y ésta no sufre ningún cambio; entonces se dirá que la gráfica de la ecuación es simétrica respecto al eje "y".

En otras palabras, si doblamos la gráfica alrededor del eje "y" y la gráfica logra empalmarse tal como un reflejo de agua, entonces, decimos que la gráfica es simétrica respecto al eje "y".

Un ejemplo de gráfica simétrica respecto al eje "y" es un círculo o una parábola vertical con eje focal paralelo al eje de las ordenadas.

Imagen 3: Parábola vertical con eje focal paralelo al eje de las ordenas. (Simetría respecto al eje "y").

3) Simetría respecto al origen.

 Téngase una ecuación cualquiera; si después de sustituir: "x" por "-x" y "y" por "-y" en la ecuación y ésta no sufre modificación alguna; entonces, se dice que la gráfica es simétrica respecto al origen.

En este tipo de simetría puede darse un doble efecto de reflejo de agua, respecto al eje "x" y respecto al eje "y". Un ejemplo de una gráfica de una ecuación con doble reflejo de agua respecto a cada uno de los ejes coordenados y que además cumple con la simetría respecto al origen, es la gráfica de una circunferencia con centro en el origen.

Imagen 4: Gráfica de una circunferencia con centro en el origen. Esta gráfica cumple con las tres simetrías antes descritas.

Sin embargo; en este tipo de simetría, también puede darse el caso de que no se cumplan las dos primeras simetrías y la tercera sí. Cuando esto sucede, podemos tomar el trozo de gráfica de la ecuación y girarlo "n" cantidad de grados hasta que éste trozo logre empalmar por completo el otro trozo de gráfica ubicado en cualquiera de los otros tres cuadrantes del plano cartesiano. Si dichos trozos no logran empalmarse; entonces, la gráfica no es simétrica respecto al origen.

Bibliografía:

1) Arcos Quezada, Ismael. Funciones reales. Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. 3a edición. Kali-Xotl. Toluca, Estado de México. 2011.

2) Fuller, Gordon. Geometría Analítica. 5th edición. CECSA. México. 2001.

Donativos.