Tipos de simetría.

 ¿Alguna vez has ido a un lago; te has parado cerca del lago y te has visto reflejado en el agua?

Imagen 1: El agua reflejo, Johanna Nikolaus. 

Pues bien; así se comporta la simetría en matemáticas.

Para comprender mejor cómo se comporta la simetría de una gráfica de dos dimensiones en matemáticas, realicemos la siguiente actividad: 

• Dobla una hoja de papel.
• Dibuja algo con un lápiz sobre una de las mitades de la hoja y coloréala con lápiz; remarca los bordes con más fuerza que el color de relleno.
• Dobla la hoja de tal forma que lo que dibujaste toque la otra mitad de hoja.
• Talla la hoja con un rodillo o objeto (Puedes usar un plumón; usarlo como rodillo), una y otra vez, hasta que la figura en la otra mitad de la hoja se haya formado.

Espero que lo hayas logrado; porque es de esa forma como se comporta la simetría de una gráfica en dos dimensiones.

Ahora, enunciaremos los tres tipos de simetría que existen en una gráfica de un plano coordenado en dos dimensiones.

1) Simetría respecto al eje "x".

Téngase una ecuación cualquiera; si sustituimos en esa ecuación a "-y" (con signo negativo), en donde quiera que se encuentre la variable "y" de la ecuación. Posteriormente, si la ecuación sigue siendo la misma, entonces; la gráfica de la ecuación es simétrica respecto al eje x.

En otras palabras; téngase la gráfica de una ecuación, si doblamos la gráfica alrededor del eje "x" y se alcanza a empalmar con la otra mitad de la hoja, decimos que la gráfica es simétrica respecto al eje "x". Y es aquí, donde se da el efecto de reflejo de agua en una gráfica.

Un ejemplo de una gráfica simétrica respecto al eje "x" es la gráfica de una parábola horizontal con eje focal paralelo al eje x.

Imagen 2: Parábola horizontal con simetría respecto al eje "x".

2) Simetría respecto al eje "y".

A partir de una ecuación cualquiera, si al sustituir "-x" en la ecuación y ésta no sufre ningún cambio; entonces se dirá que la gráfica de la ecuación es simétrica respecto al eje "y".

En otras palabras, si doblamos la gráfica alrededor del eje "y" y la gráfica logra empalmarse tal como un reflejo de agua, entonces, decimos que la gráfica es simétrica respecto al eje "y".

Un ejemplo de gráfica simétrica respecto al eje "y" es un círculo o una parábola vertical con eje focal paralelo al eje de las ordenadas.

Imagen 3: Parábola vertical con eje focal paralelo al eje de las ordenas. (Simetría respecto al eje "y").

3) Simetría respecto al origen.

 Téngase una ecuación cualquiera; si después de sustituir: "x" por "-x" y "y" por "-y" en la ecuación y ésta no sufre modificación alguna; entonces, se dice que la gráfica es simétrica respecto al origen.

En este tipo de simetría puede darse un doble efecto de reflejo de agua, respecto al eje "x" y respecto al eje "y". Un ejemplo de una gráfica de una ecuación con doble reflejo de agua respecto a cada uno de los ejes coordenados y que además cumple con la simetría respecto al origen, es la gráfica de una circunferencia con centro en el origen.

Imagen 4: Gráfica de una circunferencia con centro en el origen. Esta gráfica cumple con las tres simetrías antes descritas.

Sin embargo; en este tipo de simetría, también puede darse el caso de que no se cumplan las dos primeras simetrías y la tercera sí. Cuando esto sucede, podemos tomar el trozo de gráfica de la ecuación y girarlo "n" cantidad de grados hasta que éste trozo logre empalmar por completo el otro trozo de gráfica ubicado en cualquiera de los otros tres cuadrantes del plano cartesiano. Si dichos trozos no logran empalmarse; entonces, la gráfica no es simétrica respecto al origen.

Bibliografía:

1) Arcos Quezada, Ismael. Funciones reales. Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. 3a edición. Kali-Xotl. Toluca, Estado de México. 2011.

2) Fuller, Gordon. Geometría Analítica. 5th edición. CECSA. México. 2001.

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