¿Cómo determinar el rango del ángulo de una gráfica en coordenadas polares?

El ángulo vectorial (1) de una ecuación polar nos ayuda a localizar un punto sobre la gráfica de una ecuación polar; si descubrimos ese rango angular, nos será posible determinar la forma geométrica que tiene una determinada ecuación polar. Saber esta característica es especialmente útil para determinar los intervalos de integración cuando se desea calcular el área encerrada en una curva.

A continuación, se muestra una ecuación polar y el procedimiento para calcular ese rango angular para el propósito que usted requiera y necesite:

Sea la ecuación polar:

Determinaremos por medio de una tabulación el rango de teta posible para que nos arroje un valor real en r. 

La tabla se construye partiendo del grado 0 (ya sea que se calcule en radianes o grados), con valores negativos cada vez menores y valores positivos cada vez mayores. En lo particular recomiendo ir escalando cada valor alrededor de los 45° o  Pi/4. Si llegamos a rápidamente a un valor donde debido a la naturaleza de la ecuación polar, no es posible determinar, podríamos tomar valores más pequeños en nuestra tabla de tabulación para tener más puntos y así poder realizar la gráfica.

A continuación se muestra el procedimiento a seguir:

Tabulación para graficar ecuación polar.

En la tabulación anterior se muestran los valores de teta en radianes. Se descubrió que en valores mayores a Pi/4 y menores a -pi/4 (valores mayores a 45° y menores a -45°). La ecuación polar empieza a arrojar un error, por lo que no es posible determinar valores reales con valores de teta fuera de ese rango.

El rango de teta vendría siendo el siguiente:

La ecuación anterior, describe una hoja de la gráfica polar llamada Lemniscata. Y corresponde a la siguiente forma:

Gráfica de una hoja de lemniscata.

Notas:

(1) Entiéndase por ángulo vectorial de una ecuación polar, por el grado de abertura comprendido entre dos rayos. (Consulte: Definición de ángulo, radian y grado )

Referencias.

1) Arcos Quezada, José I. (2022). Cálculo para estudiantes de ingeniería 2. Editorial Kali. (Pág. 81-85)

2) Fuller, Gordon. (2001). Geometría Analítica. CECSA. (Pág. 193-204)

3) Jiménez Colín, Alfredo. (2019).  Definición de ángulo, radian y grado. Mundo matemático.