Hoja para graficar en coordenadas polares.

A continuación, dejo hoja para graficar cualquier ecuación o punto en coordenadas polares.

Hoja para graficar en coordenadas polares

Definiciones: Ángulo, Radián y Grado.

Definición de ángulo.

Alrededor de la historia de la humanidad se ha concebido el “ángulo” (hablando desde un concepto matemático) de distintas formas y maneras; percibiéndose así una “evolución” en su concepto. Los matemáticos que han definido el concepto de “ángulo” son: Euclides, Proclus, Eudemus, Carpus de Antioch.

Eunclides define el “ángulo” como la inclinación que se tiene en dos rectas que se cortan en un punto en común.

Proclus, nos define al “ángulo” como una cantidad o relación.

Eudemus lo define como la desviación de una línea recta.

Carpus de Antioch, lo definió como el intervalo de espaciamiento existente entre dos rectas que se intersectan. (1)

Ahora bien; existen dos definiciones de “ángulo” tomadas como actuales y válidas acorde a dos ramas de la matemática, las cuales son:

Definición según la rama de la Geometría.

Es la amplitud o el espaciamiento que existe entre dos líneas que se intersectan. (1)

Definición según la rama de la Trigonometría.

Es la amplitud de giro que realiza una recta respecto a un punto en el plano. Si el giro va en sentido contrario a las manecillas del reloj, se considera el ángulo con signo positivo; si el giro va en el sentido de las manecillas del reloj; el ángulo es negativo. (1)

Definición de Grado.

Un grado en matemáticas es una de las 360 partes que dividen un plano coordenado en partes iguales. Imagínese una circunferencia en un plano coordenado xy, una vez localizado su centro, trace un radio; posteriormente va a seguir trazando radios hasta dividir la circunferencia en 360 partes iguales en donde la abertura entre cada radio será igual a un grado. (2)

Fig. 1: Representación del sistema sexagesimal en un círculo.

El vocablo "grado", viene del latín "gradus"  y en matemáticas hace referencia a las partes iguales en las que se puede dividir los radios de un círculo, si es un sistema sexagesimal, se dividirá en 360 partes iguales, si es el sistema centesimal se dividirá en 400 partes iguales. (3)

Definición de Radián.

El radián es una unidad de medida utilizada para medir ángulos en un concepto matemático.

La palabra radián es de origen latino y su origen etimológico viene de la palabra “radius”.(4) 

Obsérvese la siguiente figura:

Figura 1: Representación de radián.

De la figura 1, se define lo siguiente: 

Un radián es la longitud de arco igual a un radio de la circunferencia, así, si se tienen 2 radianes, la longitud de arco de la circunferencia será igual a 2 radios del círculo, y al ser la longitud de arco una amplitud de abertura entre dos radios (ángulo central de un círculo), se concluye que la longitud de arco viene siendo un ángulo. Los radianes se pueden abreviar por (rad).

Como el perímetro de una circunferencia es de 2(pi)r, donde "r" es el radio. Si dividimos 2(pi)r entre el radio nos dará el número de veces que puede caber el radio en el perímetro de la circunferencia(5). De esta forma se concluye que al hacer esta división se ha partido la circunferencia en partes iguales equivalentes a una longitud de arco de un radio del círculo, de esta forma se ha dado una vuelta a la circunferencia. De aquí, puede sacarse una equivalencia con el sistema de grado sexagesimal que dicta que una circunferencia puede dividirse (angularmente) en 360 partes iguales. Así, hacemos la equivalencia de 2(pi) partes iguales es equivalente a las 360 partes iguales del sistema sexagesimal. 

Referencias y Bibliografía.

(1) José Luis Gerardo Valencia Aguilar, Domingo Hernández García, Juan Chávez Rosales, Ricardo Valdes Camarena, Juan Manuel Gómez Tagle Fernández de Córdova, María Lilia Gonzaga Villalobos, Jesús Ocampo Contreras, Edgar Jesús Rubelo Velásquez, Alfonso Samuel. Trigonometría. Universidad Autónoma del Estado de México. Toluca, Estado de México. 2018. pág. 44.

(2) Grado

(3) Definición de Grado

(4) Origen de la palabra Radián.

(5) Swokowski & Cole. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica S.A. de C.V. Tercera Edición. México. 1996. Páginas 322-324.

La unidad pascal.

La unidad pascal representada por (Pa), equivale a:

• N/m^2
• J/m^3
• kg/ms^2

El concepto de Pa (unidad pascal), es utilizado para referirse a la fuerza que se ejerce sobre un objeto por unidad de área. Dicha fuerza deberá ser perpendicular a la superficie de acción de la fuerza.

Llamada así en honor al matemático, filósofo-cristiano y físico Blaise Pascal quien dio forma al concepto de presión o bien de la fuerza ejercida perpendicularmente sobre la superficie de un objeto. 

El concepto de presión es utilizado ampliamente en las ingenierías, especialmente en el campo de la Hidráulica, estudio de gases, y en el estudio de la resistencia de materiales.

En 1967 y 1971, se llegó al acuerdo por medio de la comunidad científica de nombrar pascal o pascales (Pa) a la unidad de presión en honor a este gran científico francés Blaise Pascal en el Sistema Internacional de Unidades, celebrado en París, Francia.  

Fuentes:

1)Pascal (unidad)

Función Exponencial.

A continuación, presento un pequeño estudio sobre la función exponencial en el cual se abordan temas como los siguientes:

1-Definición de la función exponencial desde un enfoque matemático.

2-Aplicaciones de la función exponencial en los distintos ramos profesionales del saber humano.

3-Conclusiones filosóficas acerca del análisis del estudio de la función exponencial.

Toda esta información, podrás consultarla haciendo clic en el enlace que te dejo abajo de estas lineas.

Función Exponencial

Temas de interés adicional:

1) Los números: ¿Descubrimiento o invención del hombre?

Tipos de funciones.

En matemáticas existen dos tipos de funciones(1), las cuales son:

1-Funciones algebraicas: son aquellas expresiones algebraicas (2) cuya alguna de sus variables se encuentra de forma explícita o despejada y que además cumplen con las condiciones para ser funciones.

2-Funciones trascendentales: al igual que las funciones algebraicas, están compuestas por letras y números y además se encuentran bajo alguna de las 6 operaciones fundamentales del álgebra, también deben de cumplir con las condiciones de una función matemática para poder ser llamadas como "funciones trascendentales", pero, éstas tienen una característica notable que se diferencían de las funciones algebraicas, y es que estas pueden ser logarítmicas, exponenciales, trigonométricas y posiblemente alguna otra que aún no se haya descubierto (3), a diferencia de las funciones algebraicas las trascendentales se caracterizan por tener algún exponente de algún matemático famoso que descubrió dicho número irracional (ejemplo: el número Euler), o tener una conjunción de letras que forman una palabra entrecortada y que dicha palabra entrecortada o a "medias" tiene un valor numérico si se encuentra combinada correctamente con alguna expresión algebraica o con un número constante; ejemplo de esto, puede ser el logaritmo (log()), el logaritmo neperiano (In()) y las expresiones trigonométricas ya sean inversas o no inversas (sec(), cos(), sen(), etc), entre los paréntesis de las expresiones trascendentales puede ir un número constante o una expresión algebraica, que si se encuentra de forma explícita podremos graficar y así poder determinar de una forma muy sencilla si la gráfica pertenece a una función o no.

(1)  Definición de función matemática

(2) Definición de expresión algebraica

(3) Los números: ¿Descubrimiento o invención del hombre?

Fuentes:

Núñez Salasar Joel, Contreras Garduño Lorenzo, Fernández de Córdova Juan Manuel Gómez Tagle, González Rojas Jorge, Santín Laredo Juan. Cálculo diferencial e integral, Universidad Autónoma del Estado de México, 2007.

¿Por qué se usa "m" para representar a la pendiente de una recta?

En realidad no se sabe por qué se usa la letra "m" para designar la pendiente de una recta. 

Se tienen distintas versiones del por qué se denota a la pendiente con la letra "m", algunas de ellas son las siguientes:

1. Algunos dicen que viene del idioma francés ya que antes se le conocía como "módulo de la pendiente" y de allí la "m" de "módulo".
2. La siguiente versión parece tener un argumento más sólido el cual nos dice que las primeras letras del abecedario (a,b,c) representan constantes, mientras que las últimas (x,y,z) son las variables desconocidas y las letras centrales (m,n,p) representan los parámetros; la estructura de una recta en su forma punto-pendiente está denotada como y=mx+b, donde "x" y "y" son las variables, "b" la constante y "m" el parámetro el cual si varía presenta un conjunto de rectas con distinta pendiente, pero de la misma familia. En esta versión se daría por concluido que los matemáticos por convención de notación matemática acordaron poner "m" a la pendiente por las razones descritas en este punto.
3. La última versión, nos dice que la "m" viene del latín "mutatui-nis" que significa "cambio" y es que la pendiente es una relación de cambio entre dos puntos contenidos en la recta.

Fuentes:

ANAgeolitic

Demostración de Teorema de derivada logarítmica.

A continuación adjunto documento que muestra la demostración de la derivada logarítmica de base "a".

Haz click en el enlace de abajo:

Demostración de Teorema de derivada logarítmica.