Reglas de despeje en una ecuación.

¿Alguna vez te has preguntado el motivo o el porqué de las reglas convencionales de despeje que se nos enseñan en el bachillerato?

Este documento no tiene por finalidad el mencionar los autores de las correctas reglas de despeje, sino mas bien, exponer el funcionamiento del álgebra cuando se desea despejar una variable.

Espero sea de utilidad para toda mente curiosa que se pregunta lo siguiente:

"¿Por qué todo lo que está multiplicando pasa dividiendo del otro lado de la igualdad?

¿Por qué todo lo que está sumando pasa restando de otro lado de la igualdad?

¿Por qué todo lo que está restando pasa sumando del otro lado de la igualdad?

¿Por qué todo lo que está dividiendo, pasa multiplicando del otro lado de la igualdad?"

Aquí adjunto el documento con la respuesta.

Reglas de despeje

¿El universo siempre ha estado "allí"?

Tenemos que tener en cuenta que hasta el momento no se ha podido demostrar la existencia de tiempos negativos, por lo que decir que "el universo siempre ha estado allí", resulta poco creíble y carente de racionalidad.

Considere usted, to=0s y ti=a, donde "a" es un número infinitesimal. Por lo que ti-to=a, aquí estamos considerando ha transcurrido una cantidad infinitesimal de segundos, pero no podemos decir que haya transcurrido "x" cantidad negativa de segundos, en primera porque hasta ahora no podemos regresar en el tiempo y el concepto de regresar al pasado luce más como un cuento de ciencia ficción que una realidad, nadie ha podido retroceder en el tiempo "x" segundos, por lo que podríamos decir que el tiempo posiblemente tenga un dominio que ronda entre 0 y el número infinito. Pero no va desde menos infinito hasta más infinito. Por eso, no podemos decir hasta ahora que el universo "siempre ha estado allí", ya que al existir una diferencial infinitesimal de tiempo se da cabida a pensar con lucidez y racionalidad que el universo tuvo un comienzo, un principio, un inicio y un creador. Por ende no se debe decir que el universo es eterno en el sentido de que éste no tiene inicio, principio o un creador.

¿El universo tiene un fin?

Una de las mayores confusiones de las personas que creen o piensan que el universo "siempre ha estado allí" es la llamada ley de la conservación de la energía y/o materia, la cual dicta lo siguiente:"Para un sistema CERRADO la materia no se crea ni se destruye sólo se transforma". Estas personas por lo general olvidan que esta ley sólo aplica para un sistema cerrado, existen sistemas cerrados y abiertos, en donde un sistema cerrado es aquél que no permite el ingreso y salida de materia o energía y un sistema abierto es aquél que permite el ingreso y salida de materia o energía.

Ahora bien, si el universo es un sistema cerrado implica que no tendrá fin, (entiéndase por "universo" toda la materia y energía existente en este entorno tridimensional), pero ello no implica que "siempre estuvo allí" dado que la materia no se crea ni se destruye para un sistema cerrado, ya que como vimos anteriormente no se ha podido demostrar la existencia de tiempos negativos por lo que no se puede o debe decir que el universo es eterno (sin principio, sin inicio o sin creador).

Una innovadora teoría acerca de la formación del universo podría ser la de que este tuvo su inicio con el Big Bang, de to=0 segundos transcurrió determinada cantidad de tiempo y surgió la Gran Explosión la que formó las galaxias, planetas, estrellas, etc. Y que se encuentra en expansión (el universo), empero, podríamos creer que en determinado tiempo t=p, digamos, donde "p" es un número real positivo; el universo empieza en un proceso de contracción y se contrae hasta tal punto o grado de quedar comprimido en una esfera infinitesimal, posteriormente, se vuelve a producir un nuevo Big Bang. 

¿Qué probabilidad existe de que el universo se haya formado por azar sin la intervención de una mano divina?

La probabilidad de que el universo, dada la vida que se tiene en la Tierra tal como la conocemos, se haya dado por azar es infinitesimal, por lo que es mucho más racional creer que el universo fue formado por intervención divina o de un ente superior al ser humano que solamente por el azar.

Pero si nosotros creemos que el universo se expande y deja de expandirse para después contraerse hasta una esfera infinitesimal y después vuelve a producirse un nuevo Big Bang, y este suceso se reproduce infinidad de veces, entonces; ni así es lógico y racional creer que todo esto ha sido producto del azar sin intervención de un ente inteligente ya que en el estudio de la materia se puede vislumbrar claramente la existencia de un ser inteligente detrás de la creación de este universo.

En el estudio de la materia, claramente podemos encontrar patrones que denotan un ser inteligente detrás de la existencia de la materia y aunque haya dado o tocado la remota posibilidad de que el universo haya sido formado tal cual le conocemos por medio del azar se tiene la clara posibilidad de que un ser creador haya puesto los componentes y el motor necesario para que se pudiera formar el universo por azar.

De aquí se puede deducir que este creador es eterno y atemporal, es decir que no está sujeto al tiempo ni tiene principio ni fin.

¿Puede existir algo que no tenga principio ni fin y que sea eterno?

Sí, los números reales no tienen principio ni fin, pues su dominio va desde menos infinito hasta mas infinito. Por lo tanto, si existen cosas que no tengan principio ni fin, ¿por qué Dios debería de tener un principio y un fin?. Esto debería responder correctamente y satisfactoriamente a la tan recorrida pregunta atea: ¿quién creó a Dios?

El ateísmo en estos tiempos, luce como una creencia irracional, como una deformación del pensar racional humano.

Book: An Imaginary Tale The Story Of √-1

Hello everyone, in this ocassion I am bringing you a very interesting book, this book is about the history of imaginary numbers.

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Book: An Imaginary Tale The Story Of √-1

El símbolo de igualdad y aproximadamente igual que.

En el siguiente documento que adjuntaré, mostraré el correcto uso del símbolo de "igualdad" y "aproximadamente igual que", que en muchas ocasiones suelen mal usarse incluso hasta en un nivel licenciatura.

Muchas personas no toman importancia en la distinción sobre cuándo usar estos dos símbolos, empero, considero importante y apropiado, saber usar estos símbolos en un sentido estricto tal como las reglas ortográficas rigen nuestro lenguaje. Por ello y para ello, me he tomado el tiempo de realizar el siguiente documento que ilustra el correcto uso de dichos símbolos. Espero sea de provecho y utilidad para todo aquel que lo lea.

Saludos cordiales. 

Archivo descargable: 

El correcto uso del símbolo de "igualdad" y "aproximadamente igual que".

Breve historia de los números complejos.

¿Quién fue el primer matemático en encontrar la raíz cuadrada de un número real negativo?

Herón de Alejandría fue la primer persona en encontrar la raíz cuadrada de un número real negativo. (Año 50 D.C.)

¿Quién y por qué se les nombró imaginarios a la raíz cuadrada de un número real negativo?

Quien bautizó a los números imaginarios y reales, fue el destacado matemático Descartes, (1) los primeros fueron llamados así, porque no se le vio aplicación en la vida real, pensaron por tanto que no existían y que "sólo" se encontraban en la imaginación del ser humano (2), en contraposición con los números reales quienes también fueron nombrados así por Descartes por la razón de que éstos se podían vislumbrar en el mundo real que nos rodea y por ende, éstos sí existían y eran reales. Por otro lado, Isaac Asimov nos dice: "La raíz cuadrada de menos uno. No tiene existencia. Los matemáticos lo llaman imaginario. Pero de alguna manera mística creen que tienen una clase de existencia" (De los números y su historia). Euler por sus parte nos dice: "Puesto que todos los números concebibles son mayores a cero, menores que cero, o iguales que cero, está claro que las raíces cuadradas de números negativos no pueden ser incluidas dentro los números posibles (reales). En consecuencia debemos decir que son números imposibles. Y esta circunstancia nos lleva al concepto de tales números, que por su naturaleza son imposibles, y ordinariamente se les llama imaginarios o ideales, porque existen sólo en la imaginación"(Introducción completa al Álgebra). Ahora bien, en la actualidad podemos estar seguros que estos números "imaginarios" sí tienen una aplicación en la realidad que nos rodea y se pueden aplicar en el área de las matemáticas, electricidad y magnetismo, electrónica, etc. (3) Por lo que los matemáticos tenían razón en creer que tenían "una clase de existencia".

En 1777, el matemático Euler designa la letra "i" para representar la raíz cuadrada de un número real negativo. (4)

Tal vez se debería reconsiderar el nombramiento de los números imaginarios y nombrarlos por otro nombre que los describa mejor ya que quien los nombró debido a la carencia de conocimiento en la época no les vio representación o utilidad en la vida real y de allí deriva el nombre "imaginario".

¿Quién nombró a la suma o sustracción de un número real e imaginario como número complejo?

En 1831, el matemático Gauss, introduce el término "número complejo" (1), para designar la suma o sustracción de un número real y un número imaginario.

Fue el mismo Gauss, quien tuvo la genial idea de representar los números complejos en un plano cartesiano compuesto por dos rectas perpendiculares entre sí (5), la recta horizontal representando a los números reales y la recta vertical representando a los números imaginarios. De esa forma es posible ubicar un número complejo en un plano cartesiano y representar las soluciones de ecuaciones que tienen soluciones de números complejos y reales en un mismo plano cartesiano.

Fuentes:
(1) Historia del Teorema Fundamental del Álgebra
(2) Rodrigo Andrés Torres.
(3) Álgebra 1, Libro de texto, Universidad Autónoma del Estado de México, 1999.
(4) An Imaginary tale The story of √-1, Paul J. Nahim.
(5) De lo real a lo imaginario.

¿Todo número complejo de la forma a+0i con a perteneciente a los números reales, es un número real?

De acuerdo a lo que hemos establecido anteriormente por número complejo (ver: Definición de número complejo y Distintas formas de representar un número complejo ).

Podemos decir que un número complejo es la suma o sustracción de un número real y un número imaginario. Existen varias formas de representar este enunciado; una de ellas es la siguiente:

z=a+bi, donde a y b pertenecen a los números reales.

En esa forma de representar los números complejos, z representa el número complejo.

Ahora bien, si a y b pertenecen a los números reales, esto quiere decir que el número cero está incluido dentro de los números complejos ya que el número cero pertenece al conjunto numérico de los números reales. 

Por lo que se puede decir que todo número complejo de la forma a+0i, donde a pertenece a los números reales, es un número real.

Este número también se puede encontrar como:

* z=(a,0) con a perteneciente al conjunto de los números reales.

*|Z|cis(0°)=|Z|(cos(0°)+sen(0°)i), donde |Z| es el módulo del número complejo.

*|Z|cis(180°)=|Z|(cos(180°)+sen(180°)i), donde |Z| es el módulo del número complejo.

Sin embargo, escribir un número real de esta forma, carece de sentido, por las siguientes razones:

1-Se desperdicia tiempo.

2-Se gasta más tinta.

3-No es necesario.

Por lo que se puede decir que todo número real que es complejo a la vez, es usado siempre y cuando se encuentre trabajando en el conjunto numérico de los complejos y el número real y complejo que se está tratando está involucrado con el plano cartesiano de los números complejos en análisis de otros números complejos que no son números reales, de otra forma no tiene sentido representar un número real de la forma compleja.

Tal vez, sea necesario definir "número real puro" como un número real donde la parte imaginaria no existe.

Conclusiones:

1-Todo número real puede ser representado como un número complejo.

2-Todo número imaginario puede ser representado como un número complejo donde la parte real vale cero.

3-Cuando nos referimos exclusivamente a números reales, no es necesario escribirlos bajo una forma de números complejos.

Fuentes:

-matemáticas preuniversitarias I, NÚMEROS COMPLEJOS, Francesca Pensieri, editorial Reverté venezolana, S.A. 

-Álgebra 1, Libro de texto, Universidad Autónoma del Estado de México, 1999.

-ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA, TERCERA EDICIÓN, SWOKOWSKI COLE, GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA.

Distintas formas de representar un número complejo.

Ya anteriormente en otro post, había definido el concepto de "número complejo" el cual lo encontrarás en el siguiente enlace: Definición de número complejo 

Ahora bien, a continuación enumeraré las distintas formas con las cuales se suele representar a los números complejos.

1: "Desde el punto de vista algebraico, un número complejo es un par ordenado de números reales"(matemáticas preuniversitarias I, NÚMEROS COMPLEJOS, Francesca Pensieri, pg. 9)

z=(a,b) con a y b pertenecientes al conjunto de los números reales.

Cabe aclarar que "z" es el punto de coordenadas (a,b) que se ubica en el plano cartesiano complejo, el cual está compuesto por el eje horizontal que representa el conjunto de números reales y tiene por relación la abscisa del par ordenado o la parte real del número complejo y por el eje vertical que representa el conjunto de los números imaginarios y que tiene por relación la ordenada del par ordenado, ambos ejes se interceptan de forma ortogonal. 

2: Desde el punto de vista analítico un número complejo es un número de la forma:

z=a+ib, con a,b pertenecientes al conjunto de los números reales. (1)

Nuevamente "z" representa el punto de coordenadas (a,b) que se puede representar o ubicar en el plano cartesiano complejo. 

3: Desde el punto de vista geométrico un número complejo es un punto Z de un plano al cual, se le asocian coordenadas cartesianas (a,b) o coordenadas polares p (Ro), y teta; siendo p (Ro) la distancia del punto al origen del sistema cartesiano de referencia, y teta el ángulo que el eje positivo de las abscisas forma en sentido antihorario con el segmento que une el origen al punto. (1)

En esta tercera forma de representar un número complejo también se puede ver como:

3.1. Teniendo en cuenta que: lZl=la+ibl=p (Ro) -> esto es: módulo de "Z" o del número complejo será representado por la letra p (Ro)

3.2. Las coordenadas del número complejo se podrán representar de la siguiente forma:

a=pcos(teta)

b=psen(teta)

o bien:

pcos(teta)+psen(teta)i

Esto también se puede ver como:

pcis(teta)=pcos(teta)+psen(teta)i

o como:

lZlcis(teta)=lZl(cos(teta)+sen(teta)i)

Fuentes:

(1) matemáticas preuniversitarias I, NÚMEROS COMPLEJOS, Francesca Pensieri, editorial Reverté venezolana, S.A. 

Temas Selectos de Matemáticas, Universidad Autónoma del Estado de México.

Álgebra 1, Libro de texto, Universidad Autónoma del Estado de México, 1999.

¿Cuál es la diferencia entre un número imaginario y un complejo?

Bien, los números imaginarios son la raíz cuadrada de un número real negativo y por otro lado un número complejo es la adición o sustracción de un número real y un número imaginario.

Por ende; Un número complejo no es aquél que lleva la expresión "i" a lado suyo, sino la suma o sustracción de un número real y un número imaginario.

Fuente:

Álgebra 1, libro de texto, Universidad Autónoma del Estado de México, 1999.

Tipo de raíces de una ecuación de segundo grado.

Habrá ocasiones en las cuales se nos pida trabajar con polinomios o ecuaciones de segundo grado que tengan sólo raíces pertenecientes al conjunto de los números reales o en su caso contrario raíces pertenecientes al conjunto de los números complejos.

Ahora bien, existen tres métodos o formas para determinar las raíces de una ecuación de segundo grado los cuales son:

1. Factorización simple.

2. Completando el cuadrado.

3. Fórmula cuadrática.

Si nuestro objetivo es determinar si se tienen raíces pertenecientes a los números reales o complejos para poder trabajar con tal ecuación o polinomio, entonces, yo te prepongo a continuación en el siguiente documento que adjunto, un teoremita, muy sencillo, para determinar de una manera muy rápida si una ecuación de segundo grado tiene raíces reales o complejas, sin tener que realizar cualquiera de los tres métodos mencionados anteriormente.

Espero, este documento te sea de utilidad.

Teorema Alfredo-Ricardo JiCol

Fuentes:

Ecuaciones cuadráticas.

Los número y el infinito en relación con el hombre y Dios.

Un tema que me causa mucha impresión y curiosidad es el del número de cifras decimales que puede tener un número racional o irracional.

En el caso de los números irracionales se sabe que el número de cifras decimales se extiende hasta el infinito, a lo largo de la historia de la humanidad, el ser humano ha denominado estos números por medio de letras, tal es el caso del número Euler representado por una "e" o el número "pi" denominado con la decimosexta letra del alfabeto griego; pero ¿por qué el ser humano no puede alcanzar a descubrir la totalidad de números que contiene el número "pi"? Simplemente porque el número infinito (si es que al infinito se le puede llamar número) se encuentra fuera del alcance del ser humano.

El ser humano ha denominado "infinito" como todo aquello que no tiene límite. El ser humano tiene límites, su capacidad intelectual y toda su constitución corpórea tiene límites, por ende un ente viviente que es limitado en su propia materia no puede alcanzar algo que no tiene límites en una dimensión distinta a la material.

 ¿Los números son materiales o inmateriales? 

Los números pueden ser encontrados en la materia pero eso no quiere decir que estos sean materiales, tal parece ser que los números son inmateriales, concepciones abstractas (que se encuentran en un espacio que escapa a las leyes físicas de la naturaleza; pueden ser concebidos solo a partir de nuestro intelecto) que el hombre ha utilizado para conocer y descubrir el entorno que lo rodea. Algunos matemáticos han denominado a éstos últimos como el lenguaje de Dios por el cuál creó todas las cosas; empero ¿qué posibilidad hay de que un ente ajeno al de Dios haya distorsionado su creación haciendo imperfecciones en su creación?  La posibilidad es totalmente amplia, de allí que se puedan percibir imperfecciones en lo que los hombres de fe y religiosos denominan creación. Sin embargo parece evidente que el ser humano tuvo necesidad de utilizar los números para poder seguir progresando y tener mejores posibilidades de supervivencia en el mundo que lo rodea.

¿El hombre descubre los números o creó los números?

Es evidente que antes de que el ser humano existiese, el mundo material ya tenía números en su materia (proporciones matemáticas). Por ende el hombre no pudo crear estas proporciones y me atrevería a decir que lo único que hacemos nosotros los seres humanos es descubrir las distintas proporciones en la materia a partir de nuestras diferentes necesidades, por lo tanto podemos concluir que el hombre tuvo necesidad de crear una compleja simbología para descubrir todo un mundo matemático contenido en la materia sujeta a las leyes de la naturaleza que se encuentran en su entorno tridimensional. Empero obsérvece que esos números, no pertenecen al espacio tridimensional material sujeto a las leyes de la naturaleza; sino que más bien tienen su origen en el intelecto humano que es capaz de concebir cosas existenciales inmateriales que no están sujetas a las leyes de la naturaleza en un mundo tridimensional.

¿Quién ayudó al hombre a dominar los números y comprender mejor su entorno?

¿El hombre pudo por sí mismo comprender todo lo que podemos dominar hoy en día o hubo un ente que le ayudó a dominar todas las ciencias que ahora domina? En mi opinión personal Dios ha instruido y sigue instruyendo al hombre para que éste pueda comprender mejor el entorno que lo rodea por medio del lenguaje matemático. He escrito una respuesta a lo que opinó el ateo Stephen Hawking al respecto y puedes consultarla en este link: Dios el principal Maestro de la humanidad.

¿Los números, creación de Dios?

En lo que respecta a mi punto de vista los números son creados por Dios, un ser infinito creó algo inmaterial que es infinito a su vez que por la voluntad de un ente desconocido, la creación inmaterial se plasmó en lo material siguiendo las leyes de la naturaleza; sin embargo el infinito, lo inalcanzable nos rebela esa fuerza creadora que solo puede proceder de un ser infinito, un ser a quien los seres humanos le llamamos Dios.

Hay quienes dirán que los números son Dios, yo diría que son sólo una creación del mismo y ellos demuestran su sabiduría, su grandeza y lo que es aun más asombroso su infinitud.

En párrafos anteriores he dicho que el hombre creó una compleja simbología para comprender el mundo que lo rodea; empero este enunciado y conslusión puede tener sus respectivas dudas; ya que; como he dicho anteriormente el Eterno creador de cosas existenciales eternas pudo haber inspirado y ayudado al ser humano a comprender y a descubrir esa simbología matemática y algebráica ahora universal cuya sustancia es la misma en todo el mundo.

Formulario de Temas Selectos de Matemáticas.

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Formulario de Cálculo Diferencial e Integral

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Formulario de Geometría Analítica

Aquí les dejo mi formulario de Geometría Analítica que te puede servir para un nivel medio superior y también para un nivel superior de formación académica.