La regla de la cadena (Notación de Leibniz).

Cuando encontramos la regla de la cadena en un libro de cálculo, hacemos principalmente referencia a la derivada de una función compuesta por otra función que a su vez (esa otra función) estará compuesta por otra función que contendrá la variable independiente. Entonces; si quisiéramos saber la derivada de la primera función compuesta, respecto a la variable independiente, tendríamos que utilizar la siguiente expresión llamada regla de la cadena. No es complicado intuir el origen del nombre de la expresión, pues es posible explicarla partiendo de la observación de la estructura de una cadena de metal. 

Sea: w=f(u), y u=g(x), entonces:

 

Expresión 1: Regla de la cadena.

Observe la siguiente imagen:

 

La regla de la cadena adquiere sentido cuando usted observa la imagen de arriba. Aplicado al cálculo de una variable, piense que la primera argolla (1)  representa una variable, la segunda una segunda variable que depende de la anterior y la tercer argolla representará una tercera variable que depende de la anterior. Como se observa en la estructura de la cadena, siempre habrá una argolla que no dependa de ninguna (será la primera) y habrá una última que dependerá de la anterior, que a su vez dependerá de la anterior, y así, hasta llegar a la primer argolla. En relación con la expresión 1, piense que derivaremos la tercer argolla respecto a la primer argolla. (2). 

La expresión 1, se encuentra anotada con la notación de Leibniz, sin embargo; también podríamos encontrarla en otras notaciones como la de "Límites". En este texto, daremos una sencilla forma de llegar a la expresión 1 usando notación de Leibniz:

1) Parta de dw/dx:

 

2) Multiplique por du/du en ambos lados de la igualdad:

 

 

 

3) Realice las siguientes consideraciones (4):

 

4) Llegando a la expresión 1:

Haciendo du/du=1 del lado izquierdo de la igualdad y del lado derecho solo reordenamos du/du, obtenemos la expresión 1.

 

Expresión 1: Regla de la cadena.

 Notas:

(1) Da lo mismo si usted comienza a observar la cadena de abajo hacia arriba que de arriba hacia abajo, solo siga el hilo del enunciado que aquí se expone.  

(2)  Para simplificar la compresión se ha optado por realizar esta afirmación que se encuentra subrayada. Empero; podríamos aplicar la regla de la cadena en múltiples situaciones, por ejemplo, si tenemos una cadena compuesta de 10 argollas, podríamos desarrollar la derivada de la última argolla respecto a la antepenúltima argolla. No necesariamente siempre será la derivada de la última argolla respecto a la primer argolla. 

(4) Aquí solo estaremos reordenando du/du del otro lado de la igualdad.

Bibliografía:

 Arcos Quezada, Ismael.(2011). Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Kali-Xotl, 3a Edición. Toluca, México. pág. 66.