El producto punto.
Autor: Alfredo Jiménez Colín.
En esta entrada se definirá el concepto del producto punto de dos vectores, también llamado "producto escalar".
El lector deberá tener los siguientes conocimientos para comprender las explicaciones que se darán en esta entrada:
- Concepto de escalar.
- Concepto de vector.
- Razones trigonométricas.
- Concepto de perpendicularidad.
Comenzaremos este escrito definiendo el producto punto o escalar, como Gordon Fuller lo define en su libro (1):
Definición 10.6. El producto escalar de dos vectores A y B, que se designa por A°B, es el producto de sus longitudes multiplicado por el coseno del ángulo (teta) entre ellos. Esto es,
La definición 10.6. se puede expresar gráficamente de la siguiente forma:
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| Gráfica 1: Gráfica del producto punto. |
En la imagen se puede apreciar que el vector A y el vector B, parten de un mismo punto O. Además, entre los dos vectores se forma un ángulo teta. Algo que vale la pena considerar es que el vector B es menor en tamaño que el vector A.
Por lo tanto, se enunciará la siguiente definición:
Definición 1: el producto punto A°B de dos vectores, será igual a la magnitud del vector A multiplicado por la proyección de B sobre A.
¿Cuál es la proyección de B sobre A?
Imagine que en la parte superior de la imagen existe una lámpara que está iluminando la gráfica de arriba hacia abajo, produciendo una sombra del vector B que se reposa sobre el vector A. Esa sombra será la proyección de B sobre A. Es decir; la sombra será igual a la distancia que existe entre el punto M y O. En otras palabras: Proyección de B sobre A=OM. Observe que OM es el cateto adyacente del triángulo rectángulo OMB, y por trigonometría sabemos que el cateto adyacente del triángulo se puede determinar por medio de una razón trigonométrica, la cual es:
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| Fórmula 1: Razón trigonométrica coseno. |
Si queremos saber quién es OM, habrá que despejarlo de la fórmula 1; por ello OM quedará como:
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| Cateto adyacente del triángulo rectángulo OMB. |
Y por consiguiente, OM será la proyección de B sobre A.
Entonces; acorde a la definición 1, se tendrá la siguiente igualdad:
A°B=lAllOMl
Ecuación 1. Producto punto de A°B usando el cateto adyacente de teta.
Sin embargo; como acabamos de ver, lOMl es la magnitud de lBl multiplicado por el coseno del ángulo entre los vectores A y B. Por lo que si queremos expresar la ecuación 1 en términos de A, B y teta, tendríamos que sustituir lOMl por lBlcos(teta) en la ecuación 1, llegando así a la ecuación mostrada en la "Definición 10.6."
¿Qué pasa si en lugar de A°B se tiene B°A?
Para B°A nos enfrentamos al siguiente dilema que se concentra en las siguientes dos preguntas:
1) ¿Será la magnitud de B multiplicada por la proyección de A sobre B?
Dado que la proyección de B sobre A mostrada en la gráfica 1, responde a la pregunta: "¿qué tanto de la <<sombra>> de B se encuentra en A?" Y la respuesta fue la longitud OM que es igual a la magnitud del vector B por el coseno del ángulo entre los dos vectores.
Siguiendo esta misma analogía, para la solución de este caso, se tendría la siguiente pregunta: "¿qué tanto de la <<sombra>> de A se encuentra en el vector B?"
Para responder a esta pregunta, ahora imagine que la lámpara se encuentra por debajo del vector A y que la sombra de A realiza un ángulo recto respecto a la dirección del vector B; es decir, que la sombra de A podrá apreciarse en toda la dirección de B. Téngase en consideración que el ángulo recto que formó el triángulo OMB ahora se encontrará sobre la dirección de B.
No resulta complicado dictaminar que B se encuentra cubierto totalmente por la sombra de A. O bien, para comprender mejor esta situación, se plantea la siguiente pregunta: ¿ qué tanto de A se encuentra sobre B?
Dado que lAl > lBl, la proyección de A sobre B dará como resultado una proyección igual a B, en donde ahora el ángulo recto se tendrá en el punto final que define a B, tal como se muestra en la siguiente imagen:
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Gráfica 2: Proyección de A sobre B.
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En la imagen se puede observa que la <<sombra>> de A alcanza a cubrir en su totalidad al vector B. Por lo tanto el nuevo triángulo rectángulo que definirá esta proyección estará dado por el triángulo: OMB, en donde el resultado de esta proyección será igual a la magnitud de B ya que es el concepto que responde las preguntas anteriores.
Por lo tanto:
B°A= (La magnitud de B)(La proyección de A sobre B)
B°A=lBllBll
Como resultado final se tendría:
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Formula 2: B°A usando el concepto: "Proyección de A sobre B".
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2) ¿Será la magnitud de B multiplicada por la proyección de A en la dirección de B?
En este caso no vamos a tomar en cuenta el triángulo OMB, sino el triángulo OAK. Como se muestra en la imagen:
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Gráfica 3: Proyección de A en la dirección de B.
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El triángulo OAK responde a la siguiente pregunta: ¿Qué tanto de A se encuentra proyectado sobre la dirección del vector B? O bien: ¿Qué tanto de A se encuentra en la dirección de B?
Es posible contestar a estas preguntas utilizando razones trigonométricas para descubrir ahora la longitud del lado OK del triángulo rectángulo OAK.
Si posicionamos nuestro ángulo teta sobre el vértice O, entre los vectores A y B (ver gráfica 4), el lado OK será el lado adyacente del triángulo, el lado OA será la hipotenusa del triángulo.
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Gráfica 4: Triángulo OAK.
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Por tanto, la razón trigonométrica indicada para descubrir el lado OK será:
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Fórmula 3: coseno de teta del triángulo OAK.
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Por lo que la distancia OK será igual a:
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| Cateto adyacente del triángulo OAK. |
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Ahora que ya sabemos cuánto es esta distancia, podremos realizar la operación B punto A, la cual se expresa a continuación:
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Fórmula 4: B°A usando el concepto de "...proyección sobre la dirección de B".
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Dado que el orden de los factores no altera el producto, en este inciso 2; estaríamos afirmando que el producto punto de dos vectores que comparten el mismo punto inicial es conmutativo.
Esto es:
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Producto punto conmutativo.
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Ahora que terminamos de desarrollar los dos incisos, nos encontramos con el dilema de dictaminar cuál de los dos incisos es el correcto.
A continuación se enuncia la respuesta:
Los dos incisos son correctos, las operaciones realizadas en cada uno de los incisos son las descripciones puntuales de convertir el lenguaje común (con palabras) al lenguaje matemático (símbolos y números).
Por tanto, si utilizamos con palabras el concepto de "...proyección en dirección de..." nos ubicaremos en el segundo inciso y podremos afirmar que bajo este lenguaje descrito con palabras, el producto punto es conmutativo.
Por el contrario, si con palabras, utilizamos el concepto de "...proyección de A sobre B" , nos encontraremos que el producto punto de dos vectores que comparten punto inicial y que dichos vectores tienen magnitudes distintas, no será conmutativo.
Aunque en el ámbito académico, el producto punto se utiliza como se muestra en el inciso dos (con su propiedad conmutativa), es de notar que algunos profesores y autores, utilizan la descripción que se enuncia con palabras en el inciso uno, generando así una descripción no puntual entre el lenguaje común y matemático.
Por ello, se extiende la invitación a profesores y autores a emplear la descripción con palabras enunciada en el inciso dos de esta publicación, para generar una descripción más acertada y puntual entre lenguaje común y matemático.
Referencias y bibliografía:
(1) Fuller Gordon, Geometría Analítica, Grupo Patria Cultural, 5° Edición, p. 299. (2001)
