Integrales elementales y no elementales, ¿Cuáles son?

 Integrales elementales.

Para ir directo al punto, diremos que las integrales elementales es toda expresión algebraica que es integrable por alguna de las fórmulas de integración ya desarrolladas hasta nuestros días. Estas fórmulas de integración pueden encontrarse generalmente en los libros de Cálculo y en los manuales de integración. Recordemos que la integral es una antiderivada; es decir, es el proceso inverso a la derivada. Sabiendo esto; es posible desarrollar una fórmula de integración que funcione para cualquier función con una determinada forma o estructura matemática. A continuación, se muestra una tabla con fórmulas para integrar:

Fórmulas de integración. (1)

Por lo tanto; cualquier función o expresión algebraica que pueda integrarse por alguna de las fórmulas mostradas en el enlace o por cualquier otra fórmula, se dirá que es una integral elemental.

Integrales no elementales.

Las integrales no elementales, son todas aquellas expresiones algebraicas que no se pueden integrar por alguna de las fórmulas de integración descritas anteriormente. Se dice que son funciones o expresiones algebraicas no integrables.

Teniendo en cuenta el concepto de integral; en muchas ocasiones es útil valuar la integral en un intervalo <a,b>, para descubrir el área bajo la curva, la longitud de arco o cualquier otra aplicación. En este caso, cuando nos encontramos con integrales no elementales y deseamos saber el valor de la integral valuada en un determinado intervalo; es necesario emplear el método del trapecio para poder encontrar el valor de la integral.

A continuación, se muestra un ejemplo de integral no elemental y la forma en que se le da solución:

Cálculo de longitud de arco de una curva en un intervalo determinado.

Notas:

(1) Anexo tomado del libro: Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Elaborado por el Doctor Ismael Arcos Quezada.

¿Qué es una diferencial?

En esta entrada se definirá el concepto de diferencial desde un punto de vista del cálculo infinitesimal.

Conocimientos previos:

Para comprender mejor el concepto de diferencial que se desglosará en esta entrada, se pide al lector tener claros los siguientes conceptos:

1. Números infinitesimales.
2. Números infinitesimales de "n" orden.
   
3. Números hiperreales.
4. Números reales.

Sea una función y=f(x), su diferencial será un incremento infinitamente pequeño en la variable independiente de la función.  

Entiéndase por incremento la diferencia entre el valor nuevo y el valor original en el que se está valuando la función.

Así por ejemplo; si queremos saber el incremento que se ha producido en y=f(x) cuando se ha adoptado un valor inicial "a" en la variable independiente y ésta ha logrado incrementarse a un valor "b", entonces en y=f(x) también se realizará un incremento proporcional al realizado en su variable independiente. Dichos incrementos se expresarían de la siguiente forma;

1. En la variable independiente:

 Incremento= b-a ; esto es: valor final - valor inicial.

  2. En la variable dependiente:

Incremento= f(b) - f(a) ; esto es: el valor de la función f(x) valuado en el valor final de la variable independiente menos el valor de la función f(x) valuada en su valor original de la variable independiente. 

Se llama diferencial al incremento producido entre un valor real en la variable independiente y un valor infinitesimal en la misma variable (1); de tal forma que el incremento queda expresado como:

Sea y=f(x) una función continua valuada en x=a. Además; utilícese la notación dx o df(x) para designar un incremento infinitamente pequeño en la variable tanto dependiente como independiente y llámese a este incremento en particular con el nombre de "diferencial". Entonces la diferencial para sus respectivas variables será:

1. En la variable independiente: diferencial= valor final menos valor inicial= a + dx-a=dx
   
2. En la variable dependiente: diferencial= f(a+dx)-f(a)

El resultado de la diferencial dependerá del grado de la función de la ecuación y de su configuración en general. 

A continuación, se procederá a realizar una diferencial de una función lineal.

Sea f(x)=x+a

Entonces: df(x)=f(x+dx)-f(x)=x+a+dx -(x+a)=x+a+dx-x-a=dx

Si se tiene una función cuadrática, se tendría como ejemplo la siguiente función:

Sea f(x)= x^2+a

Entonces: df(x)=f(x+dx)-f(x)=(x+dx)^2+a-x^2-a=x^2+2xdx+dx^2-x^2=2xdx+dx^2

Éste resultado contempla el involucramiento de un infinitesimal de segundo orden (dx^2) el cual es infinitamente pequeño respecto al término (2xdx). Ahora bien; es importante ubicar este resultado en un conjunto numérico hiperreal de segundo orden (**R). (2)

Dado que las matemáticas aplicadas se encargan de estudiar nuestro medio físico utilizando diversos modelos matemáticos y considerando que lo "infinitamente pequeño" (números infinitesimales de "n" orden), aún no puede ser medible ni perceptible ante los sentidos del ser humano, por lo general, solo es útil considerar el término que arroja números reales perceptibles a los sentidos del ser humano. Por ello, el resultado anterior quedará expresado  de la siguiente manera para poder tener una aplicación real en nuestro entorno: 

df^r(x)=2xdx ; en donde: df^r(x) indica la parte real de la diferencial.

Aunque "dx" es una cantidad infinitamente pequeña y considerando que si multiplicamos una cantidad muy pequeña por un número cualquiera, dicho número se reduce de acuerdo a la "pequeñez" del número con el que es multiplicado. Teniendo en cuenta que ese número es infinitamente pequeño, podríamos inferir que cualquier número real multiplicado por un infinitesimal, nos daría como resultado otro infinitesimal. Por ende; en realidad "2xdx" vendría siendo un infinitesimal de primer orden.

Indicamos que es la parte real de la diferencial, porque es la parte que al manipularla acorde a las reglas del álgebra, es posible determinar una cantidad real medible ante los sentidos del ser humano que puede ser utilizada y aplicada en modelos matemáticos para predecir el comportamiento de ciertos fenómenos.

Un ejemplo de lo mencionado anteriormente es que la división entre dos números infinitesimales, nos dará como resultado un número real medible.

Teniendo esto en cuenta, podemos realizar lo siguiente:

Dado que dy=df^r(x) => dy/dx=2x

Observe que (2x) es una cantidad real medible y dy junto con dx, son incrementos infinitamente pequeños tanto en la variable dependiente (y), como en la variable independiente (x), al final, deducimos inequívocamente que se trata de una pendiente ya que la pendiente es la razón de la diferencia de dos valores dados tanto en las ordenadas (numerador) como en las abscisas (denominador), por ello; si valuamos la derivada dy/dx en cualquier valor de "x", estaremos obteniendo la pendiente de la curva  f(x)= x^2+a en la abscisa donde se ha valuado.

Obsérvese que llamamos "diferencial" al incremento infinitamente pequeño que se puede presentar en la variable independiente y por tanto, ese incremento tendrá una correspondencia con la variable dependiente.

Y llamamos "derivada" a la razón existente entre las diferenciales de la variables dependiente e independiente.

Referencias.

(1) Arcos Quezada, Ismael. Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Kali-Xotl, 3a Edición. Toluca, México. 2011. pág. 48.

(2) Selem Ávila, Elías. (1997). n-extensiones propias de *R de cardinales Nn. Aportaciones matemáticas, 13-24.

Bibliografía.

Arcos Quezada, Ismael.(2011). Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Kali-Xotl, 3a Edición. Toluca, México. pág. 48.

Jiménez Colín, Alfredo. (2021). Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales. Revista Educere, Número 82, 825-839. Recuperado de: Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales.

Selem Ávila, Elías. (1997). n-extensiones propias de *R de cardinales Nn. Aportaciones matemáticas, 13-24.

Universidad Autónoma del Estado de México. (2007). Cálculo diferencial e integral. Toluca, México: Núñez Salazar, Joel, Contreras Garduño, Lorenzo, Gómez Tagle Fernández de Córdova, Juan Manuel, Rojas González, Jorge & Laredo Santín, Juan.