¿El grado de una función corresponde al grado de la unidad de la función?

Resulta que hace unos pocos días, se me vino a la mente la premisa de que el grado de una función correspondía al grado de la unidad de la función. Así se tienen las siguientes premisas:

1) Una función lineal tiene unidades lineales. Ejemplo:

Sea f(x)=x => f(1)= 1 unidades lineales.

2) Una función cuadrática tiene unidades cuadráticas. Ejemplo:

Sea f(x)=x^2 => f(1)= 1 unidades cuadradas.

En resumen, el grado de la función f(x) corresponde al grado de las unidades de medida.

Pero, ¿es esto cierto?

No, en realidad f(x) es la ordenada de del par ordenado: (x,f(x)); de esta forma f(x) mide solamente la altura de "x".

Imaginemos pues la siguiente situación:

Sea x la longitud de un rectángulo y f(x)=x^2 la altura del mismo, teniendo en cuenta que x tiene que ser diferente de 0 y 1. Entonces si x=2 => f(x)=4 y el rectángulo tendrá 2 unidades lineales de base, por 4 unidades lineales de altura.

En realidad, el grado de una función no tiene nada que ver con el grado de las unidades de medida de la función.