Distintas formas de representar un número complejo.

Ya anteriormente en otro post, había definido el concepto de "número complejo" el cual lo encontrarás en el siguiente enlace: Definición de número complejo 

Ahora bien, a continuación enumeraré las distintas formas con las cuales se suele representar a los números complejos.

1: "Desde el punto de vista algebraico, un número complejo es un par ordenado de números reales"(matemáticas preuniversitarias I, NÚMEROS COMPLEJOS, Francesca Pensieri, pg. 9)

z=(a,b) con a y b pertenecientes al conjunto de los números reales.

Cabe aclarar que "z" es el punto de coordenadas (a,b) que se ubica en el plano cartesiano complejo, el cual está compuesto por el eje horizontal que representa el conjunto de números reales y tiene por relación la abscisa del par ordenado o la parte real del número complejo y por el eje vertical que representa el conjunto de los números imaginarios y que tiene por relación la ordenada del par ordenado, ambos ejes se interceptan de forma ortogonal. 

2: Desde el punto de vista analítico un número complejo es un número de la forma:

z=a+ib, con a,b pertenecientes al conjunto de los números reales. (1)

Nuevamente "z" representa el punto de coordenadas (a,b) que se puede representar o ubicar en el plano cartesiano complejo. 

3: Desde el punto de vista geométrico un número complejo es un punto Z de un plano al cual, se le asocian coordenadas cartesianas (a,b) o coordenadas polares p (Ro), y teta; siendo p (Ro) la distancia del punto al origen del sistema cartesiano de referencia, y teta el ángulo que el eje positivo de las abscisas forma en sentido antihorario con el segmento que une el origen al punto. (1)

En esta tercera forma de representar un número complejo también se puede ver como:

3.1. Teniendo en cuenta que: lZl=la+ibl=p (Ro) -> esto es: módulo de "Z" o del número complejo será representado por la letra p (Ro)

3.2. Las coordenadas del número complejo se podrán representar de la siguiente forma:

a=pcos(teta)

b=psen(teta)

o bien:

pcos(teta)+psen(teta)i

Esto también se puede ver como:

pcis(teta)=pcos(teta)+psen(teta)i

o como:

lZlcis(teta)=lZl(cos(teta)+sen(teta)i)

Fuentes:

(1) matemáticas preuniversitarias I, NÚMEROS COMPLEJOS, Francesca Pensieri, editorial Reverté venezolana, S.A. 

Temas Selectos de Matemáticas, Universidad Autónoma del Estado de México.

Álgebra 1, Libro de texto, Universidad Autónoma del Estado de México, 1999.

¿Cuál es la diferencia entre un número imaginario y un complejo?

Bien, los números imaginarios son la raíz cuadrada de un número real negativo y por otro lado un número complejo es la adición o sustracción de un número real y un número imaginario.

Por ende; Un número complejo no es aquél que lleva la expresión "i" a lado suyo, sino la suma o sustracción de un número real y un número imaginario.

Fuente:

Álgebra 1, libro de texto, Universidad Autónoma del Estado de México, 1999.

Tipo de raíces de una ecuación de segundo grado.

Habrá ocasiones en las cuales se nos pida trabajar con polinomios o ecuaciones de segundo grado que tengan sólo raíces pertenecientes al conjunto de los números reales o en su caso contrario raíces pertenecientes al conjunto de los números complejos.

Ahora bien, existen tres métodos o formas para determinar las raíces de una ecuación de segundo grado los cuales son:

1. Factorización simple.

2. Completando el cuadrado.

3. Fórmula cuadrática.

Si nuestro objetivo es determinar si se tienen raíces pertenecientes a los números reales o complejos para poder trabajar con tal ecuación o polinomio, entonces, yo te prepongo a continuación en el siguiente documento que adjunto, un teoremita, muy sencillo, para determinar de una manera muy rápida si una ecuación de segundo grado tiene raíces reales o complejas, sin tener que realizar cualquiera de los tres métodos mencionados anteriormente.

Espero, este documento te sea de utilidad.

Teorema Alfredo-Ricardo JiCol

Fuentes:

Ecuaciones cuadráticas.