El producto punto.

El producto punto.

Autor: Alfredo Jiménez Colín.

 

En esta entrada se definirá el concepto del producto punto de dos vectores, también llamado "producto escalar".

El lector deberá tener los siguientes conocimientos para comprender las explicaciones que se darán en esta entrada:

1. Concepto de escalar.
2. Concepto de vector.
3. Razones trigonométricas.
4. Concepto de perpendicularidad.

Comenzaremos este escrito definiendo el producto punto o escalar, como Gordon Fuller lo define en su libro (1): 

Definición 10.6. El producto escalar de dos vectores A y B, que se designa por A°B, es el producto de sus longitudes multiplicado por el coseno del ángulo (teta) entre ellos. Esto es, 

La definición 10.6. se puede expresar gráficamente de la siguiente forma:

Gráfica 1: Gráfica del producto punto.

En la imagen se puede apreciar que el vector A y el vector B, parten de un mismo punto O. Además, entre los dos vectores se forma un ángulo teta. Algo que vale la pena considerar es que el vector B es menor en tamaño que el vector A. 

Por lo tanto, se enunciará la siguiente definición:

    Definición 1: el producto punto A°B de dos vectores, será igual a la magnitud del vector A multiplicado por la proyección de B sobre A. 

¿Cuál es la proyección de B sobre A?

Imagine que en la parte superior de la imagen existe una lámpara que está iluminando la gráfica de arriba hacia abajo, produciendo una sombra del vector B que se reposa sobre el vector A. Esa sombra será la proyección de B sobre A. Es decir; la sombra será igual a la distancia que existe entre el punto M y O. En otras palabras: Proyección de B sobre A=OM. Observe que OM es el cateto adyacente del triángulo rectángulo OMB, y por trigonometría sabemos que el cateto adyacente del triángulo se puede determinar por medio de una razón trigonométrica, la cual es: 

Fórmula 1: Razón trigonométrica coseno.

Si queremos saber quién es OM, habrá que despejarlo de la fórmula 1; por ello OM quedará como:

Cateto adyacente del triángulo rectángulo OMB.

Y por consiguiente, OM será la proyección de B sobre A.

Entonces; acorde a la definición 1, se tendrá la siguiente igualdad:

A°B=lAllOMl

Ecuación 1. Producto punto de A°B usando el cateto adyacente de teta.

Sin embargo; como acabamos de ver, lOMl es la magnitud de lBl multiplicado por el coseno del ángulo entre los vectores A y B. Por lo que si queremos expresar la ecuación 1 en términos de A, B y teta, tendríamos que sustituir lOMl por lBlcos(teta) en la ecuación 1, llegando así a la ecuación mostrada en la "Definición 10.6."

¿Qué pasa si en lugar de A°B se tiene B°A?

Para B°A nos enfrentamos al siguiente dilema que se concentra en las siguientes dos preguntas:

1) ¿Será la magnitud de B multiplicada por la proyección de A sobre B?

Dado que la proyección de B sobre A mostrada en la gráfica 1, responde a la pregunta:  "¿qué tanto de la <<sombra>> de B se encuentra en A?" Y la respuesta fue la longitud OM que es igual a la magnitud del vector B por el coseno del ángulo entre los dos vectores.

Siguiendo esta misma analogía, para la solución de este caso, se tendría la siguiente pregunta: "¿qué tanto de la <<sombra>> de A se encuentra en el vector B?" 

Para responder a esta pregunta, ahora imagine que la lámpara se encuentra por debajo del vector A y que la sombra de A realiza un ángulo recto respecto a la dirección del vector B; es decir, que la sombra de A podrá apreciarse en toda la dirección de B. Téngase en consideración que el ángulo recto que formó el triángulo OMB ahora se encontrará sobre la dirección de B.

No resulta complicado dictaminar que B se encuentra cubierto totalmente por la sombra de A. O bien, para comprender mejor esta situación, se plantea la siguiente pregunta: ¿ qué tanto de A se encuentra sobre B?

Dado que lAl > lBl, la proyección de A sobre B dará como resultado una proyección igual a B, en donde ahora el ángulo recto se tendrá en el punto final que define a B, tal como se muestra en la siguiente imagen:

Gráfica 2: Proyección de A sobre B.

En la imagen se puede observa que la <<sombra>>  de A alcanza a cubrir en su totalidad al vector B. Por lo tanto el nuevo triángulo rectángulo que definirá esta proyección estará dado por el triángulo: OMB, en donde el resultado de esta proyección será igual a la magnitud de B ya que es el concepto que responde las preguntas anteriores.

Por lo tanto:

B°A= (La magnitud de B)(La proyección de A sobre B)

B°A=lBllBll

Como resultado final se tendría:

Formula 2: B°A usando el concepto: "Proyección de A sobre B".

2) ¿Será la magnitud de B multiplicada por la proyección de A en la dirección de B? 

En este caso no vamos a tomar en cuenta el triángulo OMB, sino el triángulo OAK. Como se muestra en la imagen: 

Gráfica 3: Proyección de A en la dirección de B.

El triángulo OAK responde a la siguiente pregunta: ¿Qué tanto de A se encuentra proyectado sobre la dirección del vector B? O bien: ¿Qué tanto de A se encuentra en la dirección de B?

Es posible contestar a estas preguntas utilizando razones trigonométricas para descubrir ahora la longitud del lado OK del triángulo rectángulo OAK.

Si posicionamos nuestro ángulo teta sobre el vértice O, entre los vectores A y B (ver gráfica 4), el lado OK será el lado adyacente del triángulo, el lado OA será la hipotenusa del triángulo.

 

Gráfica 4: Triángulo OAK.

Por tanto, la razón trigonométrica indicada para descubrir el lado OK será:

Fórmula 3: coseno de teta del triángulo OAK.

 

Por lo que la distancia OK será igual a:

Cateto adyacente del triángulo OAK.

 

 

 

Ahora que ya sabemos cuánto es esta distancia, podremos realizar la operación B punto A, la cual se expresa a continuación:

Fórmula 4: B°A usando el concepto de "...proyección sobre la dirección de B".

 

Dado que el orden de los factores no altera el producto, en este inciso 2; estaríamos afirmando que el producto punto de dos vectores que comparten el mismo punto inicial es conmutativo.  

 

Esto es:

 

Producto punto conmutativo.

 Ahora que terminamos de desarrollar los dos incisos, nos encontramos con el dilema de dictaminar cuál de los dos incisos es el correcto.

 

A continuación se enuncia la respuesta:

Los dos incisos son correctos, las operaciones realizadas en cada uno de los incisos son las descripciones puntuales de convertir el lenguaje común (con palabras) al lenguaje matemático (símbolos y números). 

Por tanto, si utilizamos con palabras el concepto de "...proyección en dirección de..." nos ubicaremos en el segundo inciso y podremos afirmar que bajo este lenguaje descrito con palabras, el producto punto es conmutativo.

Por el contrario, si con palabras, utilizamos el concepto de "...proyección de A sobre B" , nos encontraremos que el producto punto de dos vectores que comparten punto inicial y que dichos vectores tienen magnitudes distintas, no será conmutativo.

 

Aunque en el ámbito académico, el producto punto se utiliza como se muestra en el inciso dos (con su propiedad conmutativa), es de notar que algunos profesores y autores, utilizan la descripción que se enuncia con palabras en el inciso uno, generando así una descripción no puntual entre el lenguaje común y matemático.

Por ello, se extiende la invitación a profesores y autores a emplear la descripción con palabras enunciada en el inciso dos de esta publicación, para generar una descripción más acertada y puntual entre lenguaje común y matemático.

Referencias y bibliografía:

(1) Fuller Gordon, Geometría Analítica, Grupo Patria Cultural, 5° Edición, p. 299. (2001)

 

¿Cómo insertar el número Pi en excel?

En la aplicación Excel es posible insertar el número Pi con una precisión de 15 cifras.

Solo hay que realizar el siguiente paso: 

Posicionarse en una celda de Excel e introducir la siguiente fórmula:

=PI()

Poner "enter" y el número Pi saldrá en el celda. Ahora bien, hay que tener en consideración que si se desea hacer operaciones con el número Pi es necesario colocar el operador antes del número Pi, como se muestra en el siguiente ejemplo:

Determinar el valor de 30 veces el número pi.

 Solución: Introducir en una celda de Excel la siguiente fórmula mostrada en la imagen:

Imagen 1: uso del número Pi en excel.

 

Finalmente solo será necesario introducir la tecla "enter" y el resultado será mostrado.

Los operadores que deberán ir antes del número PI() deberán ser los siguientes: +,-,*,/ (Suma, resta, multiplicación y división respectivamente)

En dado caso de querer operar el número pi sin usar ninguno de los operadores antes descritos, Excel nos marcará un error que se corrige utilizando el número Pi como en la imagen 1.

Ecuación general de la Elipse.

 La ecuación general de la elipse parte de la ecuación general de segundo grado, la cual se muestra a continuación:

Ecuación general de segundo grado.

Donde A, B, C, D, E, y F, son los coeficientes de la ecuación y son números pertenecientes al conjunto de los números reales. De tal forma que dependiendo del valor de sus coeficientes es como podremos clasificar la ecuación en alguna de las cuatro cónicas que se pueden formar cortando un cono recto a través de un plano. 

En el caso particular de la ecuación de una elipse, el plano que cortará al cono deberá tener una cierta inclinación respecto al eje horizontal, formándose una elipse en la superficie del plano que corta al cono recto. Tal como se puede apreciar en la siguiente imagen:

Plano inclinado cortando un cono recto. (1)

La ecuación general de una elipse involucra todos los posibles casos que puedan describir una elipse, entre ellos encontramos tres clases de elipses las cuales se enuncian a continuación:

1. Elipses con centro en el origen.
2. Elipses con centro en el punto (h,k)
3. Elipses rotadas con centro en (h,k) o en el origen.

Cada caso cuenta con su respectiva ecuación y sin embargo la ecuación general de segundo grado, puede describir cualquiera de estos casos, dependiendo del valor de los coeficientes de la ecuación. 

Por ejemplo:

1. Si B, D y E son cero, F menor que cero, A y C tienen el mismo signo, son mayores que cero y A es diferente de C, entonces, la ecuación describe el primer caso.
   
2. Si B=0, A y C poseen el mismo signo y tienen valores distintos, D, E y F son diferentes de cero, la ecuación podría describir una elipse del caso 2.
3. Si B es diferente de cero; A y C poseen el mismo signo y tienen valores distintos entre sí, D, E, son diferentes de cero y F adopta cualquier valor real; entonces podría tratarse de una elipse ubicada en el caso 3.

Decimos "podría" porque hace falta un análisis profundo de la ecuación para dictaminar la veracidad de que la ecuación describa una elipse que se encuentre en cualquiera de los tres casos enunciados anteriormente. Ya que algunas veces, una ecuación puede presentar las características antes descritas y resultar ser un punto en el espacio, una recta, dos rectas o no tener gráfica.

 Referencias:

(1) Imagen tomada de: PIZiadas

Bibliografía:

Fuller Gordon, Geometría Analítica, CECSA, 5th edición, páginas: 141-153.

Integrales elementales y no elementales, ¿Cuáles son?

 Integrales elementales.

Para ir directo al punto, diremos que las integrales elementales es toda expresión algebraica que es integrable por alguna de las fórmulas de integración ya desarrolladas hasta nuestros días. Estas fórmulas de integración pueden encontrarse generalmente en los libros de Cálculo y en los manuales de integración. Recordemos que la integral es una antiderivada; es decir, es el proceso inverso a la derivada. Sabiendo esto; es posible desarrollar una fórmula de integración que funcione para cualquier función con una determinada forma o estructura matemática. A continuación, se muestra una tabla con fórmulas para integrar:

Fórmulas de integración. (1)

Por lo tanto; cualquier función o expresión algebraica que pueda integrarse por alguna de las fórmulas mostradas en el enlace o por cualquier otra fórmula, se dirá que es una integral elemental.

Integrales no elementales.

Las integrales no elementales, son todas aquellas expresiones algebraicas que no se pueden integrar por alguna de las fórmulas de integración descritas anteriormente. Se dice que son funciones o expresiones algebraicas no integrables.

Teniendo en cuenta el concepto de integral; en muchas ocasiones es útil valuar la integral en un intervalo <a,b>, para descubrir el área bajo la curva, la longitud de arco o cualquier otra aplicación. En este caso, cuando nos encontramos con integrales no elementales y deseamos saber el valor de la integral valuada en un determinado intervalo; es necesario emplear el método del trapecio para poder encontrar el valor de la integral.

A continuación, se muestra un ejemplo de integral no elemental y la forma en que se le da solución:

Cálculo de longitud de arco de una curva en un intervalo determinado.

Notas:

(1) Anexo tomado del libro: Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Elaborado por el Doctor Ismael Arcos Quezada.

¿Qué es una diferencial?

En esta entrada se definirá el concepto de diferencial desde un punto de vista del cálculo infinitesimal.

Conocimientos previos:

Para comprender mejor el concepto de diferencial que se desglosará en esta entrada, se pide al lector tener claros los siguientes conceptos:

1. Números infinitesimales.
2. Números infinitesimales de "n" orden.
   
3. Números hiperreales.
4. Números reales.

Sea una función y=f(x), su diferencial será un incremento infinitamente pequeño en la variable independiente de la función.  

Entiéndase por incremento la diferencia entre el valor nuevo y el valor original en el que se está valuando la función.

Así por ejemplo; si queremos saber el incremento que se ha producido en y=f(x) cuando se ha adoptado un valor inicial "a" en la variable independiente y ésta ha logrado incrementarse a un valor "b", entonces en y=f(x) también se realizará un incremento proporcional al realizado en su variable independiente. Dichos incrementos se expresarían de la siguiente forma;

1. En la variable independiente:

 Incremento= b-a ; esto es: valor final - valor inicial.

  2. En la variable dependiente:

Incremento= f(b) - f(a) ; esto es: el valor de la función f(x) valuado en el valor final de la variable independiente menos el valor de la función f(x) valuada en su valor original de la variable independiente. 

Se llama diferencial al incremento producido entre un valor real en la variable independiente y un valor infinitesimal en la misma variable (1); de tal forma que el incremento queda expresado como:

Sea y=f(x) una función continua valuada en x=a. Además; utilícese la notación dx o df(x) para designar un incremento infinitamente pequeño en la variable tanto dependiente como independiente y llámese a este incremento en particular con el nombre de "diferencial". Entonces la diferencial para sus respectivas variables será:

1. En la variable independiente: diferencial= valor final menos valor inicial= a + dx-a=dx
   
2. En la variable dependiente: diferencial= f(a+dx)-f(a)

El resultado de la diferencial dependerá del grado de la función de la ecuación y de su configuración en general. 

A continuación, se procederá a realizar una diferencial de una función lineal.

Sea f(x)=x+a

Entonces: df(x)=f(x+dx)-f(x)=x+a+dx -(x+a)=x+a+dx-x-a=dx

Si se tiene una función cuadrática, se tendría como ejemplo la siguiente función:

Sea f(x)= x^2+a

Entonces: df(x)=f(x+dx)-f(x)=(x+dx)^2+a-x^2-a=x^2+2xdx+dx^2-x^2=2xdx+dx^2

Éste resultado contempla el involucramiento de un infinitesimal de segundo orden (dx^2) el cual es infinitamente pequeño respecto al término (2xdx). Ahora bien; es importante ubicar este resultado en un conjunto numérico hiperreal de segundo orden (**R). (2)

Dado que las matemáticas aplicadas se encargan de estudiar nuestro medio físico utilizando diversos modelos matemáticos y considerando que lo "infinitamente pequeño" (números infinitesimales de "n" orden), aún no puede ser medible ni perceptible ante los sentidos del ser humano, por lo general, solo es útil considerar el término que arroja números reales perceptibles a los sentidos del ser humano. Por ello, el resultado anterior quedará expresado  de la siguiente manera para poder tener una aplicación real en nuestro entorno: 

df^r(x)=2xdx ; en donde: df^r(x) indica la parte real de la diferencial.

Aunque "dx" es una cantidad infinitamente pequeña y considerando que si multiplicamos una cantidad muy pequeña por un número cualquiera, dicho número se reduce de acuerdo a la "pequeñez" del número con el que es multiplicado. Teniendo en cuenta que ese número es infinitamente pequeño, podríamos inferir que cualquier número real multiplicado por un infinitesimal, nos daría como resultado otro infinitesimal. Por ende; en realidad "2xdx" vendría siendo un infinitesimal de primer orden.

Indicamos que es la parte real de la diferencial, porque es la parte que al manipularla acorde a las reglas del álgebra, es posible determinar una cantidad real medible ante los sentidos del ser humano que puede ser utilizada y aplicada en modelos matemáticos para predecir el comportamiento de ciertos fenómenos.

Un ejemplo de lo mencionado anteriormente es que la división entre dos números infinitesimales, nos dará como resultado un número real medible.

Teniendo esto en cuenta, podemos realizar lo siguiente:

Dado que dy=df^r(x) => dy/dx=2x

Observe que (2x) es una cantidad real medible y dy junto con dx, son incrementos infinitamente pequeños tanto en la variable dependiente (y), como en la variable independiente (x), al final, deducimos inequívocamente que se trata de una pendiente ya que la pendiente es la razón de la diferencia de dos valores dados tanto en las ordenadas (numerador) como en las abscisas (denominador), por ello; si valuamos la derivada dy/dx en cualquier valor de "x", estaremos obteniendo la pendiente de la curva  f(x)= x^2+a en la abscisa donde se ha valuado.

Obsérvese que llamamos "diferencial" al incremento infinitamente pequeño que se puede presentar en la variable independiente y por tanto, ese incremento tendrá una correspondencia con la variable dependiente.

Y llamamos "derivada" a la razón existente entre las diferenciales de la variables dependiente e independiente.

Referencias.

(1) Arcos Quezada, Ismael. Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Kali-Xotl, 3a Edición. Toluca, México. 2011. pág. 48.

(2) Selem Ávila, Elías. (1997). n-extensiones propias de *R de cardinales Nn. Aportaciones matemáticas, 13-24.

Bibliografía.

Arcos Quezada, Ismael.(2011). Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería. Kali-Xotl, 3a Edición. Toluca, México. pág. 48.

Jiménez Colín, Alfredo. (2021). Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales. Revista Educere, Número 82, 825-839. Recuperado de: Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales.

Selem Ávila, Elías. (1997). n-extensiones propias de *R de cardinales Nn. Aportaciones matemáticas, 13-24.

Universidad Autónoma del Estado de México. (2007). Cálculo diferencial e integral. Toluca, México: Núñez Salazar, Joel, Contreras Garduño, Lorenzo, Gómez Tagle Fernández de Córdova, Juan Manuel, Rojas González, Jorge & Laredo Santín, Juan.

Sobre las dificultades de la enseñanza del Cálculo infinitesimal en las aulas.

El cálculo infinitesimal fue una de las herramientas más útiles para el estudio de los fenómenos y cuerpos que nos rodean. Desarrollado primeramente por matemáticos como Sir. Isaac Newton y Leibniz Gottfried; esta herramienta en sus inicios fue duramente criticada por matemáticos contemporáneos debido a ciertas flaquezas detectadas en esta herramienta. Sin embargo; la comunidad científica seguía utilizando el cálculo infinitesimal, debido a la eficacia del cálculo infinitesimal en el estudio de los cuerpos y fenómenos que nos rodean. 

 

El cálculo infinitesimal fue puliéndose y perfeccionándose con el pasar de los siglos. Sin embargo, no pudo superar ciertas "inconsistencias" detectadas como "severas", "graves" o "inadmisibles" en el campo de las matemáticas, lo cual ocasionó que dicha herramienta cayera de la gracia de la comunidad científica y por tanto en desuso. Quedando sustituido por el cálculo basado en el concepto de límite. Empero, existe evidencia de que el cálculo infinitesimal aún era utilizado por científicos que usaban los infinitesimales para realizar sus trabajos y posteriormente, presentaban sus resultados desde la perspectiva del cálculo basado en el concepto de límite. Esto con la finalidad de que sus trabajos fueran aceptados por la comunidad científica que miraba con mayor aprobación al cálculo basado en el concepto de límite que en el desarrollado bajo la perspectiva de los infinitesimales. 

 

 El cálculo infinitesimal, volvió a su uso en las aulas y la comunidad científica abrió su aceptación a esta herramienta (aunque aún parece existir cierto recelo), desde la invención o descubrimiento del análisis no estándar de Abraham Robinson. Sin embargo, el análisis no estándar no es enseñado en las aulas de ingeniería, debido a su elevado grado de abstracción, argumentándose que su entendimiento es factible para estudiantes con perfil  de carreras de matemáticas puras. Ocasionando que en la comunidad de estudiantes de ingeniería surjan diversos tipos de dudas, cuestionamientos e incluso hasta escepticismo acerca de la validez del cálculo infinitesimal; ya que el cálculo infinitesimal enseñado en las facultades de ingeniería, adquiere una perspectiva con tintes más parecidos al cálculo desarrollado inicialmente por Gottfried Leibniz que por el cálculo infinitesimal explicado por Abraham Robinson, ocasionando que existan algunos estudiantes de la comunidad de ingeniería, que vuelven a detectar las mismas inconsistencias detectadas por filósofos y matemáticos en el cálculo infinitesimal hasta antes de la llegada del análisis no estándar. 

 

En este artículo titulado: " Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales " , se plasma una propuesta para representar integrales, diferenciales y operaciones que involucran números infinitesimales y reales, con la finalidad de contribuir en la disipación de esta oscuridad generada en la comprensión del cálculo infinitesimal en la comunidad de estudiantes de ingeniería sin involucrar el alto grado de abstracción que requiere el análisis no estándar para ser comprendido. 

 

 Espero que este trabajo sea de utilidad para los profesores que imparten la asignatura de Cálculo I o Cálculo Infinitesimal en la Facultad de Ingeniería. 

 

 Artículo: Propuesta de representación simbólica de operaciones con infinitesimales.

Número completo. Revista Educere.

 

 

 

 

Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería (Reseña de libro).

 En esta entrada se ajunta el libro y un video con una reseña del libro de "Cálculo infinitesimal para estudiantes de ingeniería" del Dr. Ismael Arcos Quezada.

Libro.

1. Aritmética y Geometría infinitesimalistas
2. Aproximación polinómica I. Funciones algebraicas
3. Graficación de funciones I. Asíntotas, saltos y agujeros
4. Incremento, diferencial y recta tangente
5. Razón de cambio y función derivada
6. Aproximación polinómica II. Funciones trascendentes
7. Graficación de funciones I. Uso del Cálculo Diferencial
8. Problemas de optimización
9. Operación de integración. Cálculo de primitivas
10. Proceso de integración en el cálculo de cantidades geométricas
11. Anexos

Libro: Tips para obtener buen promedio en la universidad.