Para entender qué es un campo en matemáticas, primero debemos de
tener claros, los siguientes conceptos:
Ley de composición interna: Téngase un conjunto no vacío
A, si se toman dos elementos del conjunto A y se operan, dando como
resultado un número o componente del mismo conjunto A; entonces, se cumple
la Ley de composición interna, denotada por: * (1)
Monoide: Es todo par ordenado donde se cumple la
Ley de composición interna. Por ejemplo, el par: (A,*) es un
monoide siempre que A sea un conjunto no vacío y además se cumpla la
Ley de composición interna.
Axioma: Es un conocimiento tan evidente que no necesita
demostración. (2)
Axioma conmutativo: Téngase dos elementos (a y b)
del conjunto A. Si al realizar la operación: a*b se verifica que: a*b=b*a;
entonces se dirá que el monoirde (A,*) es conmutativo.
Axioma asociativo: Ténganse tres elementos del conjunto A: a, b y c. Si al operarlos de
la siguiente forma: (a*b)*c=a*(b*c), se cumple la igualdad; se dirá que el
monoide (A,*) es asociativo.
Elemento idéntico (3): Téngase cualquier elemento del
conjunto A; (por ejemplo, el elemento "a" que pertenece al conjunto A). Si
al operarlo por sus elementos idénticos (por la derecha y por la izquierda),
se cumple que los elementos idénticos sean iguales y pertenecientes al
conjunto A. Entonces, se dirá que el monide (A,*) tiene elemento idéntico.
Esto es:
Sea: "a" un elemento perteneciente al conjunto A. Si:
a*ed=a y ei*a=a, donde ed y ei pertenecen al conjunto A y además:
ed=ei.
=> el monoíde (A,*) tiene elemento idéntico.
Elemento inverso: Para cualquier elemento del conjunto A. Al
operarlo con su elemento inverso (por la izquierda y por la derecha), deberá
ser igual al elemento idéntico (Por la derecha y por la izquierda
respectivamente). Además, si se cumple que el elemento inverso por la
derecha es igual al elemento inverso por la izquierda. Entonces, se dirá que
el monoide (A,*) tiene elemento inverso. Esto es:
a*id=ed
ii*a=ei
Donde: "id" es el elemento inverso por la derecha e "ii" es el elemento
inverso por la izquierda. Análogamente se tiene que: "ed" y "ei" son los
elementos idénticos por la derecha e izquierda respectivamente.
Además, para que un monoide (A,*) tenga elemento inverso, se deberá cumplir
que: id=ii.
Grupo conmutativo: Si para un monoide de la forma: (A,*), se
cumplen los axiomas conmutativo y asociativo. Y además, dicho monoide tiene
elemento idéntico e inverso; entonces se dirá que el monoide (A,*)
tiene estructura algebraica de grupo conmutativo.
Con estos conceptos ya podemos definir lo que es un campo.
Una terna (A,x,+) tiene estructura de campo sí:
-
El monoide (A,+) tiene estructura de grupo conmutativo con elemento
idéntico o neutro igual a cero. (Aquí se debe de cumplir los axiomas
conmutativo y asociativo. Tener elemento inverso y elemento idéntico
igual a cero).
-
El monoide (A,x) tiene estructura de grupo conmutativo. (Aquí, se debe
de cumplir los axiomas conmutativo y asociativo. Además deberá tener
elemento idéntico e inverso, no importando que el elemento idéntico sea
distinto de cero.)
-
La operación (x) es distributiva con respecto a la operación (+).
Notas y fuentes:
(1) La operación * suele representar la suma o la
multiplicación.
(2) Robles Mejía, Mario. (2009). Ingeniería y Sociedad
(Material de aula). Universidad Autónoma del Estado de México. Toluca,
México.
(3) Algunos autores llaman a este elemento como: "elemento neutro". Reyes Guerrero, Araceli. (2005). Álgebra Superior. Thomson. 1a Edición.
México. Pág. 256-257.
Bibliografía:
(1) Vilchis Becerril, Francisco. (2009). Álgebra superior 175
ejercicios típicos, soluciones. Kali. 2a Edición. México.
(2)
Álgebra Lineal II: Grupos y campos.
